Considere as bases ordenadas alpha=(1,-1),(0,1) e beta=(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0) de R^2 e R^3, respectivamente, e seja T: R^2 longrightarrow R^3 a transformação linear tal que
[T]beta^alpha=(cc 1 & 0 1 & 1 0 & -1 )
a) (1,0 ponto) Encontre T(x, y).
b) ( 1,0 ponto) Encontre [T circ F]beta^alpha, onde F: R^2 longrightarrow R^2 é o operador linear que satisfaz F(1,-1)=(3,-3) e F(0,1)=(0,0).

Passo 1

O enunciado dá as bases ordenadas
alpha=(1,-1),(0,1) em R^2 e
beta=(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0) em R^3,
além da matriz
[T]beta^alpha = 1 & 0 1 & 1 0 & -1
que representa TcolonR^2toR^3 de alpha-coordenadas no domínio para beta-coordenadas no contradomínio.
Precisamos (a) achar a fórmula de T(x,y) em coordenadas padrão e (b) calcular [Tcirc F]beta^alpha sabendo que F(1,-1)=(3,-3) e F(0,1)=(0,0).

Passo 2

Para obter T(x,y), primeiro escrevemos (x,y) em coordenadas alpha. Se
(x,y)=u,(1,-1)+v,(0,1),
então do primeiro componente u=x e do segundo -u+v=y, logo
u = x, v = x+y

Passo 3

Aplicamos a matriz ao vetor de coordenadas . Assim as coordenadas em são

Passo 4

Reconstruindo em coordenadas padrão pela combinação
T(x,y) =c1(1,0,-1)+c2(0,1,2)+c3(1,2,0),
obtemos
T(x,y) =l(c1+c3,;c2+2c3,;-c1+2c2r) =l(x-(x+y),,(2x+y)-2(x+y),,-x+2(2x+y)r) =(-y,-y,3x+2y)

Passo 5

Para [Tcirc F]beta^alpha basta ver a ação em cada vetor de alpha.
i) Em (1,-1) temos F(1,-1)=(3,-3) e
T(3,-3)=(-(-3),-(-3),3cdot3+2cdot(-3))=(3,3,3)
Resolvendo (3,3,3)=c1(1,0,-1)+c2(0,1,2)+c3(1,2,0) (c1,c2,c3)=(3,3,0).
ii) Em (0,1) temos F(0,1)=(0,0) e então T(0,0)=(0,0,0), que em beta (0,0,0).
Logo
[Tcirc F]beta^alpha = 3 & 0 3 & 0 0 & 0

Resposta

a) T(x,y)=(-y,,-y,;3x+2y).
b) [Tcirc F]beta^alpha = 3 & 0 3 & 0 0 & 0

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