(9,0 pts.) Determine uma equação geral para o plano determinado pelos pontos A(1,-2,3), B(0,1,0) e C(2,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que passa pelos pontos A(1,-2,3), B(0,1,0) e C(2,1,-1). O conteúdo envolve calcular dois vetores diretores do plano, obter o vetor normal via produto vetorial e então usar a forma vetorial do plano
ncdot(r-r0)=0
para chegar à equação geral ax+by+cz+d=0.

Passo 2

Primeiro obtemos dois vetores que estão no plano, por exemplo
AB = B - A = (0-1,;1-(-2),;0-3) = (-1,;3,;-3),
AC = C - A = (2-1,;1-(-2),;-1-3) = (1,;3,;-4)

Passo 3

O vetor normal n ao plano é dado por
n = ABtimes AC
Calculando o determinante na base canônica:
n = i&j&k -1&3&-3 1&3&-4 = l(-3,,-7,,-6r)

Passo 4

Usamos a forma vetorial do plano com o ponto A como r0:
ncdot(r-A)=0 Longrightarrow (-3,,-7,,-6)cdot(x-1,;y+2,;z-3)=0

Passo 5

Expandindo o produto escalar:
-3(x-1)-7(y+2)-6(z-3)=0
-3x+3-7y-14-6z+18=0
-3x-7y-6z+7=0
Multiplicando por -1 para simplificar o sinal principal, obtemos
3x+7y+6z-7=0

Resposta

A equação geral do plano é
3x + 7y + 6z - 7 = 0

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