Em cada item, identificar e esboçar a cônica dada pela equação: 3 x^{2}+2 y^{2}+6 x-4 y+5=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de segundo grau em x e y:
3x^{2} + 2y^{2} + 6x - 4y + 5 = 0
O conteúdo aqui é classificação de cônicas pela forma geral e conclusão pelo método de completar quadrados. Vamos agrupar termos em x e em y e completar quadrados para ver de que tipo de cônica se trata.

Passo 2

Agrupando os termos de x e de y, e separando a constante, escrevemos
3x^{2} + 6x \;+\; 2y^{2} - 4y \;+\; 5 \;=\; 0.
Agora fatoramos os coeficientes que acompanham x^{2} e y^{2}:
3\bigl(x^{2} + 2x\bigr)\;+\;2\bigl(y^{2} - 2y\bigr)\;+\;5\;=\;0.

Passo 3

Vamos completar o quadrado em cada grupo:
Para x:
x^{2} + 2x = \bigl(x+1\bigr)^{2} - 1.
Para y:
y^{2} - 2y = \bigl(y-1\bigr)^{2} - 1.
Substituindo na equação:
3\bigl[(x+1)^{2} - 1\bigr] \;+\; 2\bigl[(y-1)^{2} - 1\bigr] \;+\;5 = 0.

Passo 4

Distribuindo e somando as constantes,
3(x+1)^{2} - 3 \;+\; 2(y-1)^{2} - 2 \;+\;5 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3(x+1)^{2} + 2(y-1)^{2} \;+\;( -3 -2 +5 ) = 0
\Longrightarrow \quad 3(x+1)^{2} + 2(y-1)^{2} = 0.

Passo 5

Note que (x+1)^{2}\ge0 e (y-1)^{2}\ge0 para todos x,y. A soma
3(x+1)^{2} + 2(y-1)^{2}
só pode valer zero se e somente se cada quadrado for zero, isto é
x+1 = 0 \quad\text{e}\quad y-1 = 0.
Logo a “cônica” é um ponto único, o ponto (-1,1).

Resposta

A curva é uma elipse degenerada num ponto, localizado em (-1,1). O esboço reduz-se a marcar esse ponto no plano cartesiano.

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