Obtenha a equação reduzida da parábola que tem foco e equação da diretriz dados, respectivamente, por: F=(1,-3) e x=-3.

Passo 1

O enunciado pede a forma reduzida da parábola cujo foco é F=(1,-3) e cuja diretriz é a reta x=-3. Lembrando que uma parábola é o lugar geométrico dos pontos (x,y) tais que a distância até o foco é igual à distância até a diretriz.

Passo 2

Denotando um ponto genérico da parábola por (x,y), a distância até o foco é
\sqrt{(x-1)^2 + (y+3)^2}
e a distância até a reta x=-3 é
|x - (-3)| = |x+3|.
Pelo defino da parábola, igualamos essas distâncias:
\sqrt{(x-1)^2 + (y+3)^2} = |x+3|.

Passo 3

Elevando ao quadrado e expandindo, temos
(x-1)^2 + (y+3)^2 = (x+3)^2
x^2 - 2x + 1 + y^2 + 6y + 9 = x^2 + 6x + 9
Cancelando x^2 e 9 em ambos os lados e isolando os termos, obtemos
y^2 + 6y + 1 = 8x.

Passo 4

Para chegar à forma reduzida, completamos o quadrado em y:
y^2 + 6y + 1 = 8x \quad\Longrightarrow\quad (y+3)^2 - 9 + 1 = 8x \quad\Longrightarrow\quad (y+3)^2 = 8x + 8
Ou seja,
(y+3)^2 = 8\,(x+1).

Resposta

(y+3)^2 = 8(x+1).

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