Em cada item, identificar e esboçar a cônica dada pela equação: 4 x=y^{2}-6 y+1.

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a cônica dada por
4x = y^{2} - 6y + 1.
Aqui o conteúdo é reconhecimento de cônicas e uso de completamento de quadrado para pôr a equação em forma padrão de parábola.

Passo 2

Começamos isolando o lado direito e completando o quadrado em y. Primeiro escrevemos
y^{2} - 6y + 1 = (y^{2} -6y +9) -9 +1 = (y-3)^{2} -8.
Logo a equação fica
4x = (y-3)^{2} -8.

Passo 3

Isolando x, obtemos a forma padrão
x = \frac{1}{4}(y-3)^{2} -2.
Isto é uma parábola com vértice (-2,3), eixo de simetria paralelo ao eixo x (reta y=3) e abertura para a direita.

Passo 4

Na forma x = \tfrac{1}{4p}(y-k)^{2} + h o parâmetro p é tal que \tfrac{1}{4p}=\tfrac14, ou seja p=1.
Portanto o foco fica em
(h+p,\;k)=(-2+1,\;3)=(-1,3),
e a diretriz é a reta
x = h - p = -2 - 1 = -3.

Passo 5

Para esboçar: marque o vértice em (-2,3), desenhe o eixo de simetria y=3, coloque o foco em (-1,3) e trace a diretriz x=-3. A parábola abre para a direita, passando por pontos como ( -2,\;3\pm2), que correspondem a y=5 e y=1.

Resposta

A cônica é uma parábola de vértice \displaystyle(-2,3), eixo de simetria y=3, abertura para a direita, foco em \displaystyle(-1,3) e diretriz x=-3.

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