Dizer qual é o conjunto de pontos representado pela equação x^{2}-y^{2}+x+5 y-6=0. (justificar a resposta).

Passo 1

O enunciado pede para identificar o lugar geométrico dado pela equação
x^{2}-y^{2}+x+5y-6=0.
Esse é um caso de cônica degenerada, pois ao completarmos quadrados veremos que a equação se reduz à diferença de dois quadrados igual a zero.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y e preparamos para completar quadrados:
(x^{2}+x)\;-\;(y^{2}-5y)\;-\;6 \;=\;0.
Para completar o quadrado em x, somamos e subtraímos \tfrac14; e em y, somamos e subtraímos \tfrac{25}{4}. Assim:
(x^{2}+x+\tfrac14)\;-\;(y^{2}-5y+\tfrac{25}{4})\;-\;6\;-\;\tfrac14\;+\;\tfrac{25}{4}\;=\;0.

Passo 3

Reconhecemos os quadrados perfeitos e simplificamos as constantes:
(x+\tfrac12)^{2}\;-\;(y-\tfrac52)^{2}\;+\;\Bigl(\tfrac{25}{4}-\tfrac14-6\Bigr)\;=\;0.
Como \tfrac{25}{4}-\tfrac14=6 e 6-6=0, sobra
(x+\tfrac12)^{2} - (y-\tfrac52)^{2} \;=\;0.

Passo 4

Fatoramos a diferença de quadrados:
\bigl(x+\tfrac12 - (y-\tfrac52)\bigr)\,\bigl(x+\tfrac12 + (y-\tfrac52)\bigr)\;=\;0.

Passo 5

Cada fator igual a zero dá uma reta:
x+\tfrac12 - y + \tfrac52 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x - y + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = x+3,
x+\tfrac12 + y - \tfrac52 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x + y - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 2 - x.

Resposta

O conjunto de pontos é a união das retas
y = x + 3 \quad\text{e}\quad y = 2 - x.

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