Em cada item, informe se a reta do espaço é concorrente (ou secante), paralela ou está contida no plano. Além disso, calcule o ângulo e a distância entre eles.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisarmos a relação entre uma reta no espaço e um plano. A gente precisa descobrir se a reta intersecta o plano (ou seja, se elas se encontram em algum ponto), se são paralelas ou se a reta está totalmente dentro do plano. Além disso, vamos calcular o ângulo entre a reta e o plano, e a distância entre eles. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, como vetores direcionais, normais de planos e fórmulas de ângulo e distância.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a direção da reta e a normal do plano. A reta é dada por
. O vetor diretor da reta é
. O plano é
, e o vetor normal do plano é
.
Passo 3
Para saber se a reta é paralela ao plano, a gente verifica se o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor normal do plano. Isso acontece se o produto escalar entre
e
for zero. Vamos calcular:
Como o produto escalar é zero, a reta é paralela ao plano.
Passo 4
Como a reta é paralela ao plano, ela pode estar contida no plano ou apenas ser paralela sem interseção. Para verificar isso, substituímos os componentes da reta na equação do plano e vemos se a equação é satisfeita. Usando
, temos o ponto
:
Como a equação é satisfeita, a reta está contida no plano.
Passo 5
Agora, vamos calcular o ângulo entre a reta e o plano. Quando a reta está contida no plano, o ângulo entre eles é
, já que estão no mesmo “direcionamento”.
Passo 6
Por fim, a distância entre a reta e o plano. Como a reta está contida no plano, a distância é
.
Resposta
A reta
está contida no plano
. O ângulo entre eles é
e a distância entre a reta e o plano é
unidades.