Em cada item, informe se a reta do espaço é concorrente (ou secante), paralela ou está contida no plano. Além disso, calcule o ângulo e a distância entre eles.
r:(x, y, z)=(1,1,1)+t(1,-2,0) e pi: 2 x+y-z-2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisarmos a relação entre uma reta no espaço e um plano. A gente precisa descobrir se a reta intersecta o plano (ou seja, se elas se encontram em algum ponto), se são paralelas ou se a reta está totalmente dentro do plano. Além disso, vamos calcular o ângulo entre a reta e o plano, e a distância entre eles. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, como vetores direcionais, normais de planos e fórmulas de ângulo e distância.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a direção da reta e a normal do plano. A reta é dada por r: (x, y, z) = (1, 1, 1) + t(1, -2, 0). O vetor diretor da reta é v = (1, -2, 0). O plano é pi: 2x + y - z - 2 = 0, e o vetor normal do plano é n = (2, 1, -1).

Passo 3

Para saber se a reta é paralela ao plano, a gente verifica se o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor normal do plano. Isso acontece se o produto escalar entre v e n for zero. Vamos calcular:
v cdot n = (1)(2) + (-2)(1) + (0)(-1) = 2 - 2 + 0 = 0
Como o produto escalar é zero, a reta é paralela ao plano.

Passo 4

Como a reta é paralela ao plano, ela pode estar contida no plano ou apenas ser paralela sem interseção. Para verificar isso, substituímos os componentes da reta na equação do plano e vemos se a equação é satisfeita. Usando t=0, temos o ponto (1, 1, 1):
2(1) + 1 - 1 - 2 = 2 + 1 - 1 - 2 = 0
Como a equação é satisfeita, a reta está contida no plano.

Passo 5

Agora, vamos calcular o ângulo entre a reta e o plano. Quando a reta está contida no plano, o ângulo entre eles é 0^circ, já que estão no mesmo “direcionamento”.

Passo 6

Por fim, a distância entre a reta e o plano. Como a reta está contida no plano, a distância é 0.

Resposta

A reta r está contida no plano pi. O ângulo entre eles é 0^circ e a distância entre a reta e o plano é 0 unidades.

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