Em cada item, informe se as retas e do plano são concorrentes (ou secantes), coincidentes ou paralelas. Além disso, calcule o ângulo e a distância entre eles. e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se as retas e no plano são concorrentes (ou secantes), coincidentes ou paralelas. Além disso, precisamos calcular o ângulo entre elas e a distância entre elas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas, ângulo entre retas e distância entre retas paralelas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações das retas:
A reta é dada por . Vamos reescrever na forma para facilitar a identificação da inclinação:
Aqui, o coeficiente de é , que representa a inclinação da reta .
A reta está definida de forma paramétrica: e . Podemos escrever essa reta na forma eliminando o parâmetro .
Da equação , temos . Substituindo na equação de :
Então, a equação de é , e a inclinação é .
Passo 3
Agora que temos as inclinações das duas retas, podemos compará-las para determinar a relação entre e :
Se as inclinações forem iguais () e as retas tiverem o mesmo termo constante (), então elas são coincidentes.
Se as inclinações forem iguais () mas os termos constantes forem diferentes (), as retas são paralelas.
Se as inclinações forem diferentes (), as retas são concorrentes (secantes), ou seja, se cruzam em um ponto.
No nosso caso, e . Como as inclinações são iguais, precisamos verificar os termos constantes:
Para :
Para :
Como , as retas são paralelas.
Passo 4
Agora que sabemos que as retas são paralelas, vamos calcular o ângulo entre elas. Quando duas retas são paralelas, elas têm o mesmo ângulo de inclinação, então o ângulo entre elas é .
Para confirmar isso matematicamente, usamos a fórmula do ângulo entre duas retas com inclinações e :
Substituindo mr = ms = 3 :
tan(theta) = | 3 - 31 + 3 times 3 | = | 010 | = 0
Então, theta = 0^circ , confirmando que o ângulo entre as retas paralelas é zero.
Passo 5
Por fim, vamos calcular a distância entre as duas retas paralelas r e s . A fórmula para a distância d entre duas retas paralelas y = m x + b1 e y = m x + b2 é:
d = |b2 - b1|raiz1 + m^2
No nosso caso, b1 = 2 , b2 = -5 e m = 3 . Substituindo na fórmula: