Em cada item, informe se as retas r e s do plano são concorrentes (ou secantes), coincidentes ou paralelas. Além disso, calcule o ângulo e a distância entre eles.
r: 3 x-y+2=0 e s: x=2+t, y=1+3 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se as retas r e s no plano são concorrentes (ou secantes), coincidentes ou paralelas. Além disso, precisamos calcular o ângulo entre elas e a distância entre elas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas, ângulo entre retas e distância entre retas paralelas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das retas:
  • A reta r é dada por 3x - y + 2 = 0 . Vamos reescrever na forma y = mx + b para facilitar a identificação da inclinação:
3x - y + 2 = 0 implies y = 3x + 2
Aqui, o coeficiente de x é 3 , que representa a inclinação mr = 3 da reta r .
  • A reta s está definida de forma paramétrica: x = 2 + t e y = 1 + 3t . Podemos escrever essa reta na forma y = mx + b eliminando o parâmetro t .
    Da equação x = 2 + t , temos t = x - 2 . Substituindo na equação de y :
y = 1 + 3t = 1 + 3(x - 2) = 1 + 3x - 6 = 3x - 5
Então, a equação de s é y = 3x - 5 , e a inclinação é ms = 3 .

Passo 3

Agora que temos as inclinações das duas retas, podemos compará-las para determinar a relação entre r e s :
  • Se as inclinações forem iguais ( mr = ms ) e as retas tiverem o mesmo termo constante ( b ), então elas são coincidentes.
  • Se as inclinações forem iguais ( mr = ms ) mas os termos constantes forem diferentes ( br neq bs ), as retas são paralelas.
  • Se as inclinações forem diferentes ( mr neq ms ), as retas são concorrentes (secantes), ou seja, se cruzam em um ponto.
No nosso caso, mr = 3 e ms = 3 . Como as inclinações são iguais, precisamos verificar os termos constantes:
  • Para r : br = 2
  • Para s : bs = -5
Como br neq bs , as retas são paralelas.

Passo 4

Agora que sabemos que as retas são paralelas, vamos calcular o ângulo entre elas. Quando duas retas são paralelas, elas têm o mesmo ângulo de inclinação, então o ângulo entre elas é 0^circ .
Para confirmar isso matematicamente, usamos a fórmula do ângulo theta entre duas retas com inclinações m1 e m2 :
tan(theta) = | m2 - m11 + m1 m2 |
Substituindo mr = ms = 3 :
tan(theta) = | 3 - 31 + 3 times 3 | = | 010 | = 0
Então, theta = 0^circ , confirmando que o ângulo entre as retas paralelas é zero.

Passo 5

Por fim, vamos calcular a distância entre as duas retas paralelas r e s . A fórmula para a distância d entre duas retas paralelas y = m x + b1 e y = m x + b2 é:
d = |b2 - b1|raiz1 + m^2
No nosso caso, b1 = 2 , b2 = -5 e m = 3 . Substituindo na fórmula:
d = |-5 - 2|raiz1 + 3^2 = 7raiz10 = 7 raiz1010 approx 2,213

Resposta

As retas r e s são paralelas. O ângulo entre elas é 0^circ e a distância entre elas é aproximadamente 2,213 unidades.

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