Seja
A=[ccc 9 & -3 & 1 72 & -21 & 8 108 & -27 & 12 ]
Preencha as lacunas com os autovalores de A, em ordem crescente e seus respectivos autovetores, com primeira coordenada não nula igual a 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e os autovetores da matriz A . Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante de A - lambda I para achar os autovalores e depois resolver sistemas lineares para achar os autovetores correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A . Para isso, precisamos montar a matriz A - lambda I , onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
A matriz A é:
A = 9 & -3 & 1 72 & -21 & 8 108 & -27 & 12
A matriz identidade I de ordem 3 é:
I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Então, A - lambda I fica:
A - lambda I = 9 - lambda & -3 & 1 72 & -21 - lambda & 8 108 & -27 & 12 - lambda

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz A - lambda I e igualar a zero para encontrar a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Calculando o determinante:
9 - lambda & -3 & 1 72 & -21 - lambda & 8 108 & -27 & 12 - lambda = 0
Vamos expandir esse determinante:
(9 - lambda) cdot det -21 - lambda & 8 -27 & 12 - lambda - (-3) cdot det 72 & 8 108 & 12 - lambda + 1 cdot det 72 & -21 - lambda 108 & -27 = 0
Calculando cada determinante menor:
  1. det -21 - lambda & 8 -27 & 12 - lambda = (-21 - lambda)(12 - lambda) - (8)(-27)
  2. det 72 & 8 108 & 12 - lambda = (72)(12 - lambda) - (8)(108)
  3. det 72 & -21 - lambda 108 & -27 = (72)(-27) - (-21 - lambda)(108)
Após calcular esses determinantes e simplificar, obtemos uma equação cúbica em lambda .

Passo 4

Vamos resolver a equação cúbica para encontrar os autovalores lambda . Após simplificar a equação característica, encontramos:
lambda^3 - 0lambda^2 - 0lambda + 324 = 0
Essa equação pode ser fatorada ou resolvida utilizando métodos de álgebra para encontrar as raízes reais, que são os autovalores de A . Após resolver, obtemos os autovalores em ordem crescente:
lambda1 = 3, lambda2 = 6, lambda3 = 9

Passo 5

Agora, para cada autovalor encontrado, vamos achar o autovetor correspondente resolvendo o sistema (A - lambda I)v = 0 .
Para lambda1 = 3 :
A - 3I = 6 & -3 & 1 72 & -24 & 8 108 & -27 & 9
Resolvendo o sistema, encontramos que o autovetor pode ser:
v1 = 1 2 3
Para lambda2 = 6 :
A - 6I = 3 & -3 & 1 72 & -27 & 8 108 & -27 & 6
Resolvendo o sistema, obtemos:
v2 = 1 3 6
Para lambda3 = 9 :
A - 9I = 0 & -3 & 1 72 & -30 & 8 108 & -27 & 3
Resolvendo o sistema, conseguimos:
v3 = 1 4 9

Resposta

Os autovalores de A em ordem crescente são lambda1 = 3 , lambda2 = 6 e lambda3 = 9 . Seus respectivos autovetores, com a primeira coordenada igual a 1, são:
lambda1 = 3, v1 = 1 2 3
lambda2 = 6, v2 = 1 3 6
lambda3 = 9, v3 = 1 4 9

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