Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas:
Elipse com focos (1,-1) e (3,-1) e excentricidade igual a 2 / 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem seus focos nos pontos (1,-1) e (3,-1) e uma excentricidade igual a 23. Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria das elipses, como a posição dos focos, a excentricidade e as fórmulas que relacionam esses elementos para chegar na equação final.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro é o ponto meio entre os dois focos. Os focos estão em (1,-1) e (3,-1). Para achar o ponto meio, fazemos a média das coordenadas x e y:
xcentro = 1 + 32 = 2
ycentro = -1 + (-1)2 = -1
Então, o centro da elipse é (2, -1).

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre os dois focos, que chamamos de 2c. Para isso, usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
2c = raiz(3 - 1)^2 + (-1 - (-1))^2 = raiz2^2 + 0^2 = raiz4 = 2
Assim, c = 1.

Passo 4

Sabemos que a excentricidade e da elipse é dada por:
e = ca
Onde a é o semi-eixo maior. A excentricidade nos foi dada como 23, então:
23 = 1a
Resolvendo para a:
a = 32

Passo 5

Com a conhecido, podemos encontrar o semi-eixo menor b usando a relação:
b^2 = a^2 - c^2
Substituindo os valores que temos:
b^2 = (32)^2 - 1^2 = 94 - 1 = 54
Portanto, b = raiz52.

Passo 6

Agora que já sabemos o centro (h, k) = (2, -1), a = 32 e b = raiz52, podemos escrever a equação padrão da elipse. Como os focos estão alinhados horizontalmente, a equação fica:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Substituindo os valores:
(x - 2)^2(32)^2 + (y + 1)^2(raiz52)^2 = 1
Simplificando os denominadores:
(x - 2)^294 + (y + 1)^254 = 1
Multiplicando numerador e denominador:
4(x - 2)^29 + 4(y + 1)^25 = 1

Resposta

A equação da elipse é:
4(x - 2)^29 + 4(y + 1)^25 = 1

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