Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas:
Elipse com focos
e
e excentricidade igual a
.
Elipse com focos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem seus focos nos pontos
e
e uma excentricidade igual a
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria das elipses, como a posição dos focos, a excentricidade e as fórmulas que relacionam esses elementos para chegar na equação final.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro é o ponto meio entre os dois focos. Os focos estão em
e
. Para achar o ponto meio, fazemos a média das coordenadas x e y:
Então, o centro da elipse é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância entre os dois focos, que chamamos de
. Para isso, usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Assim,
.
Passo 4
Sabemos que a excentricidade
da elipse é dada por:
Onde
é o semi-eixo maior. A excentricidade nos foi dada como
, então:
Resolvendo para
:
Passo 5
Com
conhecido, podemos encontrar o semi-eixo menor
usando a relação:
Substituindo os valores que temos:
Portanto,
.
Passo 6
Agora que já sabemos o centro
,
e
, podemos escrever a equação padrão da elipse. Como os focos estão alinhados horizontalmente, a equação fica:
Substituindo os valores:
Simplificando os denominadores:
Multiplicando numerador e denominador:
Resposta
A equação da elipse é: