Em cada item, mostre que a equação diferencial pode ser escrita em termos de uma função homogênea de grau zero e encontre uma família de soluções com a substituição v=\frac{y}{x}.
y^{\prime}(x)=-\frac{x}{y}.

Passo 1

O enunciado dá a equação
y'(x) = -\frac{x}{y}
e pede para mostrar que o membro direito é uma função homogênea de grau zero e, em seguida, resolver fazendo a substituição v = \tfrac{y}{x}. O conteúdo aqui é ODE de variáveis separáveis após reconhecimento de homogeneidade.

Passo 2

Chamando f(x,y) = -\tfrac{x}{y}, verificamos homogeneidade: para todo t>0,
f(tx,\,t y) = -\frac{t x}{t y} = -\frac{x}{y} = f(x,y).
Isso mostra que f é homogênea de grau zero.

Passo 3

Fazemos a substituição y = v\,x. Então
y' = \frac{d}{dx}(v\,x) = v + x\,\frac{dv}{dx}.
Substituindo na ODE original,
v + x\,\frac{dv}{dx} = -\frac{x}{v\,x} = -\frac1v.

Passo 4

Isolando a derivada de v,
x\,\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{v} - v = -\frac{1+v^2}{v},
ou seja
\frac{dv}{dx} = -\frac{1+v^2}{v\,x}.
Isso já é separável:
\frac{v}{1+v^2}\,dv = -\frac{dx}{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int \frac{v}{1+v^2}\,dv = \tfrac12\ln\bigl(1+v^2\bigr), \quad \int -\frac{dx}{x} = -\ln\lvert x\rvert + C.
Logo
\tfrac12\ln\bigl(1+v^2\bigr) = -\ln\lvert x\rvert + C \;\Longrightarrow\; \ln\bigl(1+v^2\bigr) + 2\ln\lvert x\rvert = C_1 \;\Longrightarrow\; x^2\bigl(1+v^2\bigr) = C.

Passo 6

Voltando a y, como v = \tfrac{y}{x} temos
x^2\Bigl(1+\frac{y^2}{x^2}\Bigr) = C \quad\Longrightarrow\quad x^2 + y^2 = C,
que é a família geral de soluções implícita.

Resposta

A família de soluções é
x^2 + y^2 = C,
com constante arbitrária C.

Exercícios relacionados