Em cada item, mostre que a equação diferencial pode ser escrita em termos de uma função homogênea de grau zero e encontre uma família de soluções com a substituição
.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para mostrar que o membro direito é uma função homogênea de grau zero e, em seguida, resolver fazendo a substituição
. O conteúdo aqui é ODE de variáveis separáveis após reconhecimento de homogeneidade.
Passo 2
Chamando
, verificamos homogeneidade: para todo
,
Isso mostra que
é homogênea de grau zero.
Passo 3
Fazemos a substituição
. Então
Substituindo na ODE original,
Passo 4
Isolando a derivada de
,
ou seja
Isso já é separável:
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Logo
Passo 6
Voltando a
, como
temos
que é a família geral de soluções implícita.
Resposta
A família de soluções é
com constante arbitrária
.