Supondo que exista uma solução, encontre uma família de soluções para cada equação diferencial.
\sqrt{1-x^{2}} y^{\prime}(x)+y^{2}+1=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\sqrt{1-x^{2}}\;y'(x)+y^{2}+1=0
que é de primeira ordem e separável. Vamos rearranjar para colocar os termos em y de um lado e em x do outro.

Passo 2

Isolando y' e separando variáveis, obtemos
y' = \frac{dy}{dx} = -\,\frac{y^{2}+1}{\sqrt{1-x^{2}}} \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{y^{2}+1} = -\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{dy}{1+y^{2}} = -\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Sabemos que
\int \frac{dy}{1+y^{2}} = \arctan(y) \quad\text{e}\quad \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}} = \arcsin(x).
Logo
\arctan(y) = -\,\arcsin(x) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Bast a isolar y aplicando a tangente em ambos os lados:
y = \tan\bigl(-\arcsin(x) + C\bigr) = \tan\bigl(C - \arcsin(x)\bigr).
Essa é a família geral de soluções, válida para |x|<1.

Resposta

A família de soluções é
y(x) = \tan\bigl(C - \arcsin(x)\bigr),
com C\in\mathbb{R}.

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