Supondo que exista uma solução, encontre uma família de soluções para cada equação diferencial.
x y y^{\prime}(x)=1+x^{2}+y^{2}+x^{2} y^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x\,y\,y'(x)=1+x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}
e pede uma família de soluções. Esse é um caso de equação diferencial de variáveis separáveis, pois o lado direito pode ser fatorado em função de x vezes função de y.

Passo 2

Observe que
1+x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}=(1+x^{2})(1+y^{2}).
Assim a equação fica
x\,y\,y'=(1+x^{2})(1+y^{2}).
Dividindo ambos os lados por (1+y^{2}) e por x, obtemos
\frac{y}{1+y^{2}}\,\frac{dy}{dx}=\frac{1+x^{2}}{x}.

Passo 3

Reescrevendo a igualdade como separação de variáveis,
\frac{y}{1+y^{2}}\,dy=\frac{1+x^{2}}{x}\,dx.
Agora integramos cada lado:

Passo 4

Integração em y:
\int \frac{y}{1+y^{2}}\,dy =\frac12\int \frac{2y}{1+y^{2}}\,dy =\frac12\ln\bigl(1+y^{2}\bigr).
Integração em x:
\int \frac{1+x^{2}}{x}\,dx =\int\Bigl(\frac1{x}+x\Bigr)\,dx =\ln\lvert x\rvert+\frac{x^{2}}{2}.
Incluindo a constante de integração C, igualamos:
\frac12\ln\bigl(1+y^{2}\bigr) =\ln\lvert x\rvert+\frac{x^{2}}{2}+C.

Passo 5

Multiplicando por 2 e exponenciando, definindo K=e^{2C}, vem
\ln\bigl(1+y^{2}\bigr) =2\ln\lvert x\rvert+x^{2}+\!2C \quad\Longrightarrow\quad 1+y^{2} =K\,x^{2}e^{\,x^{2}}.
Isolando y, obtemos a família de soluções:

Resposta

1+y^{2}=C\,x^{2}e^{\,x^{2}},
ou seja
y(x)=\pm\sqrt{C\,x^{2}e^{\,x^{2}}-1},
onde C é constante arbitrária.

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