Supondo que exista uma solução, encontre uma família de soluções para cada equação diferencial.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede uma família de soluções. Esse é um caso de equação diferencial de variáveis separáveis, pois o lado direito pode ser fatorado em função de
vezes função de
.
Passo 2
Observe que
Assim a equação fica
Dividindo ambos os lados por
e por
, obtemos
Passo 3
Reescrevendo a igualdade como separação de variáveis,
Agora integramos cada lado:
Passo 4
Integração em
:
Integração em
:
Incluindo a constante de integração
, igualamos:
Passo 5
Multiplicando por 2 e exponenciando, definindo
, vem
Isolando
, obtemos a família de soluções:
Resposta
ou seja
onde
é constante arbitrária.