Exercício 4 Calcule (usando substituição):
\int_{-1}^{1} x^{4}\left(x^{5}+3\right)^{3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-1}^{1} x^{4}\bigl(x^{5}+3\bigr)^{3}\,dx
usando o método de substituição. Vamos ver que escolhemos uma nova variável que simplifique o termo \bigl(x^{5}+3\bigr)^{3} e ao mesmo tempo trate bem o x^{4}\,dx.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{5} + 3.
Diferenciando, temos
du = 5\,x^{4}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{4}\,dx = \frac{1}{5}\,du.
Quando x=-1, u=(-1)^{5}+3 = 2.
Quando x=1, u=1^{5}+3 = 4.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, obtemos
\int_{-1}^{1} x^{4}\bigl(x^{5}+3\bigr)^{3}\,dx = \int_{u=2}^{u=4} \Bigl(u^{3}\Bigr)\,\frac{1}{5}\,du = \frac{1}{5}\int_{2}^{4} u^{3}\,du.
Agora integramos
\int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4},
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\frac{1}{5}\int_{2}^{4}u^{3}\,du = \frac{1}{5}\left[\frac{u^{4}}{4}\right]_{2}^{4} = \frac{1}{20}\bigl(4^{4}-2^{4}\bigr).

Passo 4

Calculando o valor numérico:
4^{4}=256, \quad 2^{4}=16, \quad 256-16=240, \quad \frac{240}{20}=12.

Resposta

12

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