Exercício 4 Calcule (usando substituição):
\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen} x\left(1-\cos ^{2} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\sin x\,(1-\cos^2 x)\,dx
usando substituição. O recurso que vamos precisar é identificar u=\cos x para aproveitar o fator \sin x\,dx.

Passo 2

Definimos
u=\cos x\implies du=-\sin x\,dx\quad\Longrightarrow\quad \sin x\,dx=-du.
Quando x=\tfrac{\pi}{6}, u=\tfrac{\sqrt3}{2}; quando x=\tfrac{\pi}{2}, u=0. Substituindo na integral, temos
\int_{\pi/6}^{\pi/2}\sin x\,(1-\cos^2 x)\,dx =\int_{\sqrt3/2}^{0}(1-u^2)(-du) =\int_{0}^{\sqrt3/2}(1-u^2)\,du.

Passo 3

Agora integramos o polinômio em u. Sabemos que
\int(1-u^2)\,du =u-\frac{u^3}{3}+C.

Passo 4

Avaliamo-la de 0 até \tfrac{\sqrt3}{2}:
\Bigl[u-\frac{u^3}{3}\Bigr]_{0}^{\frac{\sqrt3}{2}} =\frac{\sqrt3}{2}-\frac{1}{3}\Bigl(\frac{\sqrt3}{2}\Bigr)^3 =\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{8} =\frac{3\sqrt3}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{3\sqrt3}{8}

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