Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem
f(x, y)=\operatorname{sen}(2 x+y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y)=\operatorname{sen}(2x+y).
O conteúdo envolvido é derivação parcial em várias variáveis, usando a regra da cadeia. Para chegar às derivadas de segunda ordem, vamos primeiro encontrar as derivadas parciais de primeira ordem.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia para f(x,y)=\operatorname{sen}(u) com u=2x+y, temos
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\operatorname{sen}(2x+y) =\cos(2x+y)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(2x+y) =2\cos(2x+y),
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\operatorname{sen}(2x+y) =\cos(2x+y)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(2x+y) =\cos(2x+y).

Passo 3

Derivando novamente em relação a x e em seguida em relação a y a expressão de f_x:
f_{xx}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2\cos(2x+y)\bigr) =2\bigl(-\sin(2x+y)\bigr)\cdot2 =-4\sin(2x+y),
f_{xy}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2\cos(2x+y)\bigr) =2\bigl(-\sin(2x+y)\bigr)\cdot1 =-2\sin(2x+y).

Passo 4

Derivando f_y em relação a x e em relação a y:
f_{yx}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\cos(2x+y)\bigr) =-\sin(2x+y)\cdot2 =-2\sin(2x+y),
f_{yy}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\cos(2x+y)\bigr) =-\sin(2x+y)\cdot1 =-\sin(2x+y).

Resposta

f_{xx}(x,y)=-4\sin(2x+y),\quad f_{xy}(x,y)=-2\sin(2x+y),\quad f_{yx}(x,y)=-2\sin(2x+y),\quad f_{yy}(x,y)=-\sin(2x+y).

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