Se z=x y+\ln (2 x+y), calcule \frac{\partial z}{\partial x}(1,1) e \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}(1,2).

Passo 1

O enunciado define a função
z(x,y)=x\,y+\ln\bigl(2x+y\bigr)
e pede (i) a derivada parcial de z em relação a x no ponto (1,1) e (ii) a derivada parcial mista \frac{\partial^2 z}{\partial y\,\partial x} no ponto (1,2). Vamos usar regras de derivação parcial e a regra da cadeia.

Passo 2

Derivamos z em relação a x, tratando y como constante. Para x\,y a derivada é y. Para \ln(2x+y) aplicamos a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}\ln\bigl(2x+y\bigr) =\frac{1}{2x+y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(2x+y) =\frac{1}{2x+y}\cdot 2 =\frac{2}{2x+y}.
Logo,
\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) =y+\frac{2}{2x+y}.

Passo 3

Agora avaliamos em (x,y)=(1,1). Substituindo,
\frac{\partial z}{\partial x}(1,1) =1+\frac{2}{2\cdot1+1} =1+\frac{2}{3} =\frac{5}{3}.

Passo 4

Para obter a derivada mista \frac{\partial^2 z}{\partial y\,\partial x}, derivamos \frac{\partial z}{\partial x}(x,y)=y+2/(2x+y) em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(y+\frac{2}{2x+y}\Bigr) =1+\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{2}{2x+y}\Bigr) =1-\frac{2}{(2x+y)^{2}},
pois \frac{d}{dy}(1/(2x+y))=-1/(2x+y)^2.

Passo 5

Avaliamo agora em (x,y)=(1,2). Como 2x+y=2\cdot1+2=4, temos
\frac{\partial^2 z}{\partial y\,\partial x}(1,2) =1-\frac{2}{4^{2}} =1-\frac{2}{16} =1-\frac{1}{8} =\frac{7}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}(1,1)=\frac{5}{3} \displaystyle \frac{\partial^{2}z}{\partial y\,\partial x}(1,2)=\frac{7}{8}

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