Em cada item, parametrize a superfície, calcule vecru times vecrv (ou equivalente no caso de parâmetros diferentes de u e v ) e explique o sentido dos vetores vecru times vecrv e vecrv times vecru. Sugestão. Use as parametrizações já feitas nos exercícios P2. P3. e P4. e os vetores já calculados no exercício P5.
A parte do cilindro x^2+y^2=16 que está entre os planos z=0 e z=5.

Passo 1

Temos a parte do cilindro x^2+y^2=16 entre os planos z=0 e z=5. O conteúdo é parametrização de superfície cilíndrica e cálculo do vetor normal através do produto vetorial das derivadas parciais vec rutimesvec rv. Vamos parametrizar em termos de theta e z, calcular vec rthetatimesvec rz e depois vec rztimesvec rtheta, e interpretar seus sentidos.

Passo 2

Escolhemos como parâmetros
u=theta, v=z,
com thetain[0,2pi] e zin[0,5]. Uma parametrização natural do cilindro x^2+y^2=16 é
vec r(theta,z)=l(4costheta,;4sintheta,;zr)

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
vec rtheta(theta,z) =partialpartial thetal(4costheta,4sintheta,zr) =l(-4sintheta,;4costheta,;0r),
vec rz(theta,z) =partialpartial zl(4costheta,4sintheta,zr) =l(0,;0,;1r)

Passo 4

Usando o determinante,
vec rthetatimesvec rz = i&j&k -4sintheta&4costheta&0 0&0&1 =l(4costheta,;4sintheta,;0r)
Esse vetor é radial e aponta para fora do cilindro, pois em cada theta ele tem direção lang<=costheta,sintheta,0rang<=.

Passo 5

Invertendo a ordem,
vec rztimesvec rtheta = i&j&k 0&0&1 -4sintheta&4costheta&0 =l(-4costheta,;-4sintheta,;0r) =-l(4costheta,4sintheta,0r)
Logo, vec rztimesvec rtheta aponta radialmente para dentro do cilindro.

Passo 6

Pelo “regra da mão direita”, o produto vec rthetatimesvec rz define a orientação normal que, no caso, é para fora da superfície cilíndrica. Inverter a ordem dos fatores ( vec rztimesvec rtheta) inverte o sentido do normal, apontando para dentro do cilindro.

Resposta

Parametrização
vec r(theta,z)=l(4costheta,;4sintheta,;zr), 0<=theta<=2pi,;0<= z<=5
Vetores normais:
vec rthetatimesvec rz=(4costheta,,4sintheta,,0) (normal para fora),
vec rztimesvec rtheta=(-4costheta,,-4sintheta,,0) (normal para dentro)

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