Em cada item, parametrize a superfície, calcule vecru times vecrv (ou equivalente no caso de parâmetros diferentes de u e v ) e explique o sentido dos vetores vecru times vecrv e vecrv times vecru. Sugestão. Use as parametrizações já feitas nos exercícios P2. P3. e P4. e os vetores já calculados no exercício P5.
A parte do plano z=x+3 que está dentro do cilindro x^2+y^2=1.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da parte da superfície definida pelo plano z=x+3 que está dentro do cilindro x^2+y^2=1, o cálculo do vetor normal usando vec rutimesvec rv (e também vec rvtimesvec ru) e a interpretação do sentido desses vetores. O conteúdo é parametrização de superfícies e uso do produto vetorial para obter normais orientadas.

Passo 2

Escolhemos coordenadas cilíndricas rasas para parametrizar a projeção no plano xy. Definimos
vec r(u,v) = l(x(u,v),,y(u,v),,z(u,v)r) = l(ucos v,;usin v,;ucos v+3r),
com domínio
0 <= u <= 1, 0 <= v <= 2pi

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
vec ru(u,v) = partialpartial ul(ucos v,;usin v,;ucos v+3r) = l(cos v,;sin v,;cos vr),
vec rv(u,v) = partialpartial vl(ucos v,;usin v,;ucos v+3r) = l(-usin v,;ucos v,;-usin vr)

Passo 4

Usando a definição do determinante 3times 3 para o produto vetorial,
vec ru times vec rv = i & j & k [6pt] cos v & sin v & cos v [3pt] -,usin v & ucos v & -,usin v = l(-u,;0,;ur) = u,(-1,,0,,1)

Passo 5

Pelo “regra da mão direita”, vec rutimesvec rv aponta na direção de vec ru seguida de vec rv. Como seu componente z é positivo ( +u), o vetor normal resultante aponta para cima (sentido positivo de z). Já
vec rvtimesvec ru = -l(vec rutimesvec rvr) = l(u,;0,;-,ur)
aponta exatamente na direção oposta, ou seja, para baixo (sentido negativo de z).

Resposta

Parâmetros: 0<= u<=1, 0<= v<=2pi
vec r(u,v)=l(ucos v,;usin v,;ucos v+3r), vec rutimesvec rv=u,(-1,0,1), vec rvtimesvec ru=u,(1,0,-1)
vec rutimesvec rv tem componente z positiva (normal voltada para cima) e vec rvtimesvec ru aponta para baixo.

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