Show that the Laplace transform of e^e^t does not exist, while the Laplace transform of e^-e^t does exist.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a existência das transformadas de Laplace das funções
f(t)=e^e^t e g(t)=e^-e^t.
O conteúdo necessário é a definição de transformada de Laplace como integral imprópria
Lh(s)=integral0^inftyh(t),e^-s t,dt
e os testes de convergência (comparação e estudo de comportamento para ttoinfty).

Passo 2

Para f(t)=e^e^t temos
Lf(s) =integral0^inftye^e^t,e^-s t,dt =integral0^inftye^,e^t-s t,dt
Note que, quando ttoinfty, a parte e^t cresce muito mais rápido que a parte linear s t. Em particular existe T>0 tal que para todo t>= T vale
e^t-s t>0 Longrightarrow e^,e^t-s t>1
Logo
integralT^inftye^,e^t-s t,dt >integralT^infty1,dt =infty,
o que implica que Le^e^t(s) é divergente para todo s. Portanto não existe transformada de Laplace de e^e^t.

Passo 3

Para g(t)=e^-e^t consideramos
Lg(s) =integral0^inftye^-e^t,e^-s t,dt =integral0^inftye^-,e^t-s t,dt
Como e^-s t<=1 para todo t>=0 e s>=0, segue
0<= e^-,e^t-s t<= e^-,e^t
Logo basta mostrar que
integral0^inftye^-,e^t,dt
converge. Fazendo a substituição u=e^t, temos du=e^tdt, ou seja dt=u^-1du, e quando t vai de 0 a infty, u vai de 1 a infty. Assim
integral0^inftye^-,e^t,dt =integral1^inftye^-u,duu
O integrando e^-u/u é positivo, contínuo para u>=1 e, para utoinfty, satisfaz
e^-uu<= e^-u,
cuja integral de 1 a infty converge (é smashe^-1). Portanto integral1^inftye^-u/u,du converge e, por comparação, Le^-e^t(s) existe para todo s>=0.

Resposta

A transformada de Laplace de e^e^t não existe (diverge para todo s), enquanto a transformada de Laplace de e^-e^t existe (é finita para todo s>=0).

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