Show that the Laplace transform of
does not exist, while the Laplace transform of
does exist.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a existência das transformadas de Laplace das funções
e
.
O conteúdo necessário é a definição de transformada de Laplace como integral imprópria
O conteúdo necessário é a definição de transformada de Laplace como integral imprópria
e os testes de convergência (comparação e estudo de comportamento para
).
Passo 2
Para
temos
Note que, quando
, a parte
cresce muito mais rápido que a parte linear
. Em particular existe
tal que para todo
vale
Logo
o que implica que
é divergente para todo
. Portanto não existe transformada de Laplace de
.
Passo 3
Para
consideramos
Como
para todo
e
, segue
Logo basta mostrar que
converge. Fazendo a substituição
, temos
, ou seja
, e quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
O integrando
é positivo, contínuo para
e, para
, satisfaz
cuja integral de
a
converge (é
). Portanto
converge e, por comparação,
existe para todo
.
Resposta
A transformada de Laplace de
não existe (diverge para todo
), enquanto a transformada de Laplace de
existe (é finita para todo
).