Prove that Le^alpha t F(beta t)=1beta f(s-alphabeta) where alpha and beta are constants and LF(t)=f(s).

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade da transformada de Laplace que combina um deslocamento exponencial em t e uma escala de tempo em F. Especificamente, sabendo que
LF(t)(s)=f(s),
precisamos mostrar que
Lle^alpha t,F(beta t)r(s) =1beta,f!l(tfracs-alphabetar)

Passo 2

Começamos pela definição da transformada de Laplace:
Lle^alpha tF(beta t)r(s) =integral0^inftye^-s t,l[e^alpha tF(beta t)r],dt =integral0^inftye^-(s-alpha)t,F(beta t),dt

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
u = beta,t Longrightarrow t = ubeta, dt = dubeta
Quando t varia de 0 a infty, u também vai de 0 a infty. Substituindo na integral, obtemos
integral0^inftye^-(s-alpha)t,F(beta t),dt =integral0^inftye^-(s-alpha),ubeta,F(u),dubeta =1betaintegral0^inftye^-s-alphabeta,u,F(u),du

Passo 4

Por definição,
integral0^inftye^-sigma u,F(u),du =LF(u)(sigma)=f(sigma)
Aqui sigma=tfracs-alphabeta. Logo
1betaintegral0^inftye^-s-alphabeta,u,F(u),du =1beta,f!l(tfracs-alphabetar)

Resposta

Lle^alpha tF(beta t)r(s) =1beta,f!l(s-alphabetar)

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