Em cada item, parametrize a superfície, calcule vecru times vecrv (ou equivalente no caso de parâmetros diferentes de u e v ) e explique o sentido dos vetores vecru times vecrv e vecrv times vecru. Sugestão. Use as parametrizações já feitas nos exercícios P2. P3. e P4. e os vetores já calculados no exercício P5.
A parte do cone z^2=x^2+y^2 que está acima do plano x y e dentro do cilindro x^2+y^2=9.

Passo 1

O enunciado pede a parte do cone
z^2 = x^2 + y^2
acima do plano xy (isto é, z>=0) e dentro do cilindro
x^2 + y^2 = 9
O conteúdo é parametrização de superfície em coordenadas cilíndricas, cálculo de produto vetorial das derivadas parciais para obter o vetor normal, e interpretação dos sentidos de vec rutimesvec rv e vec rvtimesvec ru.

Passo 2

Escolhemos como parâmetros u=r e v=theta, com
0 <= r <= 3, 0 <= theta <= 2pi
A parametrização natural do cone z = raizx^2+y^2 em coordenadas cilíndricas é
vec r(r,theta) = l(rcostheta,;rsintheta,;rr)

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
vec rr = partialvec rpartial r = l(costheta,;sintheta,;1r), vec rtheta = partialvec rpartial theta = l(-rsintheta,;rcostheta,;0r)

Passo 4

Agora fazemos o produto vetorial
rr times rtheta = i & j & k [6pt] costheta & sintheta & 1 [3pt] -,rsintheta & rcostheta & 0
Desenvolvendo,
rr times rtheta = l(sintheta cdot 0 - 1 cdot rcostheta,; 1 cdot (-rsintheta) - costheta cdot 0,; costheta cdot rcostheta - sintheta cdot (-rsintheta)r) = l(-rcostheta,,-rsintheta,;rr) ]

Passo 5

O vetor vec rrtimesvec rtheta = (-rcostheta,,-rsintheta,;r) é normal ao cone e tem componente z positiva. No plano xy sua projeção (-rcostheta,-rsintheta) aponta para o eixo z (sentido “para dentro” do cone).
O vetor oposto
vec rtheta times vec rr = -l(vec rr times vec rthetar) = l(rcostheta,;rsintheta,;-rr)
aponta para fora do cone e tem componente z negativa.

Resposta

Parametrização:
vec r(r,theta) = (rcostheta,;rsintheta,;r), 0<= r<=3,; 0<=theta<=2pi
Produto vetorial principal:
vec rr times vec rtheta = (-rcostheta,,-rsintheta,;r),
que define uma normal com z>0 (aponta para dentro e para cima no cone).
O produto inverso
vec rtheta times vec rr = (rcostheta,;rsintheta,;-r)
é apenas o vetor normal de sentido oposto (para fora e para baixo).

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