Show that Lsin ^2 tt=14 ln (s^2+4s^2).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de sin^2 tt. Vamos usar duas ideias principais:
  1. a identidade trigonométrica
sin^2 t = tfrac12l(1 - cos 2tr),
  1. a fórmula geral
Ll1 - cos a ttr(s) =12ln!gl(s^2 + a^2s^2gr),
que mostraremos por diferenciação sob o sinal de integral.

Passo 2

Usando sin^2 t = tfrac12(1 - cos2t) obtemos
sin^2 tt =12,1 - cos2tt
Logo
Llsin^2 ttr =12,Ll1 - cos2ttr

Passo 3

Defina
G(a)=Ll1-cos(a t)tr(s) =integral0^infty1-cos(a t)t,e^-st,dt
Para achar G(a), diferenciamos em relação a a:
G'(a) =integral0^inftypartialpartial al[tfrac1-cos(a t)tr] ,e^-st,dt =integral0^inftysin(a t),e^-st,dt =as^2+a^2

Passo 4

Integrando em a desde 0 até a, e usando G(0)=0, vem
G(a) =integral0^aus^2+u^2,du =12l[ln(s^2+u^2)r]0^a =12ln!gl(s^2+a^2s^2gr)

Passo 5

No nosso caso a=2, então
Ll1-cos2ttr =G(2) =12ln!gl(s^2+4s^2gr)
Portanto
Llsin^2 ttr =12cdot 12ln!gl(s^2+4s^2gr) =14ln!gl(s^2+4s^2gr)

Resposta

Lltfracsin^2 ttr(s) =14ln!gl(s^2+4s^2gr)

Exercícios relacionados