Evaluate integral0^infty e^-t sin ^2 tt d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^inftye^-tsin^2tt,dt
O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias com fator e^-t (tipo transformada de Laplace) e a identidade trigonométrica para sin^2t.

Passo 2

Usamos a identidade
sin^2t = 1-cos(2t)2
Substituindo na integral, vem
integral0^inftye^-tsin^2tt,dt = 12integral0^inftye^-tl(1-cos(2t)r)t,dt

Passo 3

Definimos
I = integral0^inftye^-tl(1-cos(2t)r)t,dt
Para avaliar I, lembramos do resultado clássico
integral0^inftye^-a t-e^-b tt,dt = ln!l(tfracbar),
válido para Re(a),Re(b)>0.

Passo 4

No nosso caso escrevemos
e^-tl(1-cos(2t)r) = Rel(e^-t-e^-(1+2i)tr),
de modo que
I = Reintegral0^inftye^-t-e^-(1+2i)tt,dt = Reln!l(tfrac1+2i1r) = lnl|1+2ir| = tfrac12lnl(1^2+2^2r) = tfrac12ln5

Passo 5

Voltando à integral original, temos
integral0^inftye^-tsin^2tt,dt = 12,I = 12cdot12ln5 = 14ln5

Resposta

14ln5

Exercícios relacionados