Find L1-J0(t)t.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=1 - J0(t)t,
onde J0(t) é a função de Bessel de primeira espécie e ordem zero.
Para resolver isso de forma sistemática, vamos usar a propriedade que diz que, se
F(s)=Lg(t)(s)=integral0^inftyg(t)e^-stdt,
então
Llg(t)tr(s) =integrals^inftyF(u),du
Aqui tomamos g(t)=1-J0(t), de modo que precisamos primeiro achar
L1-J0(t)(u).

Passo 2

Calcular
F(u)=L1-J0(t)(u) =integral0^infty(1-J0(t)),e^-u tdt
Como L1(u)=1/u e LJ0(t)(u)=1/raizu^2+1, temos
F(u) =1u-1raizu^2+1

Passo 3

Aplicamos a propriedade da transformada de g(t)/t:
Ll1-J0(t)tr(s) =integrals^inftyF(u),du =integrals^inftyl(1u-1raizu^2+1r),du
Vamos dividir em duas integrais:
I1=integrals^inftyduu, I2=integrals^inftyduraizu^2+1

Passo 4

Calcular cada uma:
- Para I1:
I1 =l[ln ur]s^infty =limMtoinftyln M - ln s ;(diver>=, mas depois cancelar'a)
- Para I2, usamos integralduraizu^2+1 = lnl(u+raizu^2+1r):
I2 =l[lnl(u+raizu^2+1r)r]s^infty =limMtoinftylnl(M+raizM^2+1r) -lnl(s+raizs^2+1r)
Para grandes M, M+raizM^2+1sim2M, logo
ln M - ln(M+raizM^2+1)tolnl(M/(2M)r)=ln12.

Passo 5

Agora juntamos I1-I2:
integrals^inftyl(1u-1raizu^2+1r)du =l(ln M-ln sr) -l(ln(M+raizM^2+1)-ln(s+raizs^2+1)r)
=l(ln M-ln(M+raizM^2+1)r) -ln s +lnl(s+raizs^2+1r)
longrightarrow ln12-ln s +lnl(s+raizs^2+1r) =ln!l(s+raizs^2+12sr)

Resposta

boxed Ll1-J0(t)tr(s) =ln!l(s+raizs^2+12sr)

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