Em cada item, parametrize a superfície, calcule vecru times vecrv (ou equivalente no caso de parâmetros diferentes de u e v ) e explique o sentido dos vetores vecru times vecrv e vecrv times vecru. Sugestão. Use as parametrizações já feitas nos exercícios P2. P3. e P4. e os vetores já calculados no exercício P5.
A esfera x^2+y^2+z^2=9.

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a esfera de raio 3 dada por
x^2+y^2+z^2=9,
calcular o produto vetorial entre as derivadas parciais da parametrização e interpretar o sentido de vec ru times vec rv e de vec rv times vec ru. O conteúdo aplicado é parametrização de superfícies e cálculo de vetores normais via produto vetorial.

Passo 2

Escolhemos coordenadas esféricas clássicas: tomamos u=theta e v=phi com
0<= theta<= 2pi, 0<= phi<= pi,
e definimos
vec r(theta,phi) =l(3sinphicostheta,;3sinphisintheta,;3cosphir)

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais em relação a theta e phi:
vec rtheta =l(-3sinphisintheta,;3sinphicostheta,;0r)
vec rphi =l(3cosphicostheta,;3cosphisintheta,;-3sinphir)

Passo 4

Agora fazemos
vec rtheta times vec rphi =l(-9sin^2phicostheta,;-9sin^2phisintheta,;-9sinphicosphir)
vec rtheta times vec rphi =-9sinphi;(sinphicostheta,;sinphisintheta,;cosphi)
Como (sinphicostheta,sinphisintheta,cosphi) é o vetor radial unitário apontando para fora da esfera, o fator -9sinphi faz com que vec rthetatimesvec rphi aponte para o interior da esfera.

Passo 5

Invertendo a ordem do produto vetorial, temos
vec rphi times vec rtheta =-l(vec rtheta times vec rphir) =+9sinphi;(sinphicostheta,;sinphisintheta,;cosphi),
ou seja, um vetor normal que aponta para fora da esfera, de módulo 9sinphi.

Resposta

Parametrização
vec r(theta,phi)=(3sinphicostheta,;3sinphisintheta,;3cosphi)
Produto vetorial
vec rthetatimesvec rphi =-9sinphi;(sinphicostheta,;sinphisintheta,;cosphi) (normal apontando para dentro),
vec rphitimesvec rtheta =+9sinphi;(sinphicostheta,;sinphisintheta,;cosphi) (normal apontando para fora)

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