Calcule a integral fazendo uma mudança de variáveis apropriada:
(a)
integral duplaR x-2 y3 x-y d A
onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x-2 y=0, x-2 y=4,3 x-y=1, e 3 x-y=8;
(b)
integral duplaR cos (y-xy+x) d A
onde R é a região trapezoidal com vértices (1,0),(2,0)(0,2) e (0,1);
(c)
integral duplaR e^x+y d A
onde R é dada pela inequação |x|+|y| <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular três integrais duplas sobre regiões planas usando mudanças de variáveis que simplifiquem tanto o integrando quanto a descrição da região. Vamos usar transformações lineares (u,v)=T(x,y), determinar o jacobiano l|detpartial(x,y)/partial(u,v)r|, descrever a região em variáveis u,v e então integrar.

Passo 2

Para (a) tomamos
u = x - 2y, v = 3x - y
Invertendo,
y=v-3u5, x=2v-u5,
e o jacobiano é
partial(x,y)partial(u,v) =det-tfrac15 & tfrac25[6pt]-tfrac35 & tfrac15 =15
As retas que delimitam R viram u=0, u=4, v=1, v=8. O integrando x-2y3x-y torna-se uv.]

Passo 3

A integral em u,v é
integral duplaRx-2y3x-y,dA =integralv=1^8integralu=0^4uv,15,du,dv =15l(integral0^4u,dur)l(integral1^81v,dvr)
Calculando,
integral0^4u,du=4^22=8, integral1^8dvv=ln8,
logo o valor é
15cdot8cdotln8=8ln85

Passo 4

Para (b) escolhemos
u = y - x, v = y + x
Invertendo,
x=v-u2, y=u+v2,
e o jacobiano é
partial(x,y)partial(u,v) =det-tfrac12 & tfrac12[3pt]tfrac12 & tfrac12 =-tfrac12,l|cdotr|=tfrac12
A região trapezoidal definida por x,y>=0, 1<= x+y<=2 vira
1<= v<=2, -v<= u<= v
O integrando cos!l(tfracy-xy+xr) fica cos(u/v).]

Passo 5

A integral é
Fazendo , , , obtemos
Logo

Passo 6

Para (c) tomamos
u = x + y, v = x - y,
de onde
x=u+v2, y=u-v2,
com jacobiano
partial(x,y)partial(u,v) =dettfrac12 & tfrac12[3pt]tfrac12 & -tfrac12 =-tfrac12,l|cdotr|=tfrac12
A condição |x|+|y|<=1 equivale a
|u+v|+|u-v|<=2;Longrightarrow;max(|u|,|v|)<=1,
isto é, o quadrado -1<= u<=1,;-1<= v<=1. O integrando e^x+y vira e^u.]

Passo 7

A integral em é
Como , fica

Resposta

(a) 8ln85
(b) 3sin12
(c) e - e^-1

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