Esboçe a região de integração e calcule as integrais iteradas seguintes:
(a) integral0^1 integralx^2 x(2 x+4 y) d y d x;
(b) integral1^e integral0^ln x(1e-e^y) d y d x;
(c) integral0^1 integral0^raiz1-y^2 x d x d y;
(d) integral0^1 integralx^2^raizx 2 x y d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para, em cada caso, esboçar a região de integração no plano xy e depois calcular a integral iterada na ordem dada. Vamos usar interpretação geométrica da região, integração direta e, quando conveniente, troca de ordem de integração para simplificar.

Passo 2

Para
integral0^1integralx^2x(2x+4y),dy,dx
a região é
(x,y)mid 0<= x<=1,;x<= y<=2x,
ou seja, o setor entre as retas y=x e y=2x para 0<= x<=1. Integramos primeiro em y:
integralx^2x(2x+4y),dy = l[2x,y+2y^2r]y=x^y=2x =2x(2x-x)+2l((2x)^2-x^2r) =2x^2+2(4x^2-x^2)=8x^2
Agora em x:
integral0^18x^2,dx =8cdotx^33|0^1 =83

Passo 3

Para
integral1^eintegral0^ln x1e-e^y,dy,dx
a região é
(x,y)mid 1<= x<= e,;0<= y<=ln x
Trocando a ordem, y varia de 0 a 1 (pois ln e=1) e para cada y temos e^y<= x<= e. A integral vira
integraly=0^1integralx=e^y^e1e-e^y,dx,dy =integral0^1e-e^ye-e^y,dy =integral0^11,dy =1

Passo 4

Para
integral0^1integral0^raiz1-y^2x,dx,dy
a região é o quarto de círculo de raio 1 no primeiro quadrante, dado por 0<= y<=1 e 0<= x<=raiz1-y^2. Integramos primeiro em x:
integral0^raiz1-y^2x,dx =x^22|0^raiz1-y^2 =1-y^22
Depois em y:
integral0^11-y^22,dy =12l[y-y^33r]0^1 =12l(1-tfrac13r) =13

Passo 5

Para
integral0^1integralx^2^raizx2x,y,dy,dx
a região é o conjunto de pontos com 0<= x<=1 e x^2<= y<=raizx. Integramos em y:
integralx^2^raizx2x,y,dy =xl[y^2r]y=x^2^y=raizx =xl(x - x^4r) =x^2 - x^5
Em seguida em x:
integral0^1(x^2 - x^5),dx =l[tfracx^33-tfracx^66r]0^1 =13-16 =16

Resposta

(a) 83
(b) 1
(c) 13
(d) 16

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