Usando coordenadas polares, calcule:
(a) integral duplaR(x^2+y^2)^2 d x d y, onde R=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2 <= 4, x >= 0 ;
(b) integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 raiz1-x^2-y^2 d y d x;
(c) integral duplaR raizx^2+y^2 d x d y, onde R é a região delimitada por x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9 ;
(d) integral duplaR x d x d y, onde R é a região delimitada por x^2+ y^2-4 x=0 ;
(e) integral dupla x y d x d y, onde R é a região delimitada por x^24+ y^29=1 ;
(f) integral duplaR raiz(x-1)^2+(y-2)^2 d x d y, onde R é a região delimitada por (x-1)^2+(y-2)^2=1;
(g) integral duplaR d x d y, onde R é a região limitada por 4(x-3)^2+(y-2)^2=4. Interprete o resultado geometricamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaR(x^2+y^2)^2 dx dy, onde a região R é definida por x^2+y^2 <= 4 e x >= 0. A matéria que vamos usar aqui é Coordenadas Polares, que facilita bastante quando temos expressões envolvendo x^2 + y^2. Vamos converter tudo para coordenadas polares e seguir passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • x^2 + y^2 = r^2
  • O elemento de área dx,dy vira r,dr,dtheta
Então, nossa integral (x^2 + y^2)^2 se transforma em (r^2)^2 = r^4.

Passo 3

Agora, vamos entender os limites de integração na região R. A condição x^2 + y^2 <= 4 significa que r <= 2. E x >= 0 em coordenadas polares corresponde a theta indo de -pi2 até pi2 (ou seja, a direita do eixo y).
Então, nossos limites são:
  • r varia de 0 a 2
  • theta varia de -pi2 a pi2

Passo 4

Substituindo tudo na integral, temos:
integral duplaR(x^2+y^2)^2 dx dy = integral-pi2^pi2 integral0^2 r^4 cdot r , dr , dtheta = integral-pi2^pi2 integral0^2 r^5 , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a r:
integral0^2 r^5 , dr = [r^66]0^2 = 2^66 - 0^66 = 646 = 323

Passo 6

Agora, resolvemos a integral externa, que é em relação a theta:
integral-pi2^pi2 323 , dtheta = 323 cdot [theta]-pi2^pi2 = 323 cdot (pi2 - (-pi2)) = 323 cdot pi

Resposta

A integral vale dfrac323, pi.

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