Usando coordenadas polares, calcule:
(a)
, onde
(b)
;
(c)
, onde
é a região delimitada por
e
(d)
, onde
é a região delimitada por
(e)
, onde
é a região delimitada por
(f)
, onde
é a região delimitada por
;
(g)
, onde
é a região limitada por
. Interprete o resultado geometricamente.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
, onde a região
é definida por
e
. A matéria que vamos usar aqui é Coordenadas Polares, que facilita bastante quando temos expressões envolvendo
. Vamos converter tudo para coordenadas polares e seguir passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares:
-
-
-
- O elemento de área
vira
Então, nossa integral
se transforma em
.
Passo 3
Agora, vamos entender os limites de integração na região
. A condição
significa que
. E
em coordenadas polares corresponde a
indo de
até
(ou seja, a direita do eixo y).
Então, nossos limites são:
-
varia de a -
varia de a
Passo 4
Substituindo tudo na integral, temos:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 6
Agora, resolvemos a integral externa, que é em relação a
:
Resposta
A integral vale
.