Dado os vetores \mathbf{u}=(0,0,1) e \mathbf{v}=(0,2,2), faça o que se pede:
(a) \langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle
(b) O ângulo \theta entre os vetores

Passo 1

O enunciado dá os vetores \mathbf{u}=(0,0,1) e \mathbf{v}=(0,2,2) e pede (a) o produto interno \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle e (b) o ângulo \theta entre eles. Vamos usar a definição do produto interno em \mathbb{R}^3,
\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3,
e a relação entre produto interno e ângulo,
\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = \|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\cos\theta.

Passo 2

Calculamos o produto interno diretamente:
\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = (0)(0) + (0)(2) + (1)(2) = 2.

Passo 3

Agora determinamos as normas dos vetores:
\|\mathbf{u}\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1,
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.

Passo 4

Usamos a fórmula \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = \|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\cos\theta para achar \theta:
\cos\theta = \frac{\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|} = \frac{2}{1 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
Logo,
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) = 45^\circ = \frac{\pi}{4}.

Resposta

(a) \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = 2.
(b) \theta = 45^\circ (ou \tfrac{\pi}{4} radianos).

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