Em cada item, reescreva a equação ou o modelo dado como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem. Indique claramente as variáveis de estado e escreva o sistema no formato dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(t, \mathbf{x}).
Reescreva como sistema de 1^{\underline{\mathrm{a}}} ordem a EDO
x^{\prime \prime}(t)-7 x^{\prime}(t)+12 x(t)=5 e^{3 t}

Passo 1

O enunciado pede para transformar a EDO de segunda ordem
x''(t) - 7\,x'(t) + 12\,x(t) = 5\,e^{3t}
num sistema de equações diferenciais de primeira ordem no formato \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(t,\mathbf{x}). Para isso, usaremos o método clássico de introduzir variáveis de estado.

Passo 2

Definimos as variáveis de estado
x_{1}(t) = x(t), \quad x_{2}(t) = x'(t).
Assim, queremos escrever equações para \dot x_{1} e \dot x_{2}.

Passo 3

Pela definição de x_{1} e x_{2} temos
\dot x_{1}(t) = x_{2}(t).
Já a equação original dá
x''(t) = 7\,x'(t) -12\,x(t) +5\,e^{3t},
portanto
\dot x_{2}(t) = 7\,x_{2}(t) -12\,x_{1}(t) +5\,e^{3t}.

Passo 4

Reunindo num vetor de estado \mathbf{x}(t) = \bigl(x_{1}(t),x_{2}(t)\bigr)^{T}, o sistema fica
\dot{\mathbf{x}}(t) = \begin{pmatrix} \dot x_{1}(t)\\\ \dot x_{2}(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{2}(t)\\\\ 7\,x_{2}(t)-12\,x_{1}(t)+5\,e^{3t} \end{pmatrix}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{x}(t)=\begin{pmatrix}x_{1}(t)\x_{2}(t)\end{pmatrix},
onde x_{1}(t)=x(t) e x_{2}(t)=x'(t), e
\dot{\mathbf{x}}(t) = \begin{pmatrix} x_{2}(t)\\\\ 7\,x_{2}(t)-12\,x_{1}(t)+5\,e^{3t} \end{pmatrix}.

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