O sistema y(t)=\frac{1}{u(t)}, u(t) \neq 0 é linear?

Passo 1

O enunciado define o sistema
y(t)=\frac{1}{u(t)},\quad u(t)\neq 0
e pergunta se ele é linear. Em teoria de sistemas lineares, precisamos verificar o princípio da superposição, que consiste em duas propriedades: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Verificação da aditividade: seja u_1(t) com resposta y_1(t)=1/u_1(t) e u_2(t) com resposta y_2(t)=1/u_2(t). Para o sinal somado u_1(t)+u_2(t), o sistema entrega
y_{\text{soma}}(t) =\frac{1}{u_1(t)+u_2(t)},
enquanto a soma das respostas seria
y_1(t)+y_2(t) =\frac{1}{u_1(t)}+\frac{1}{u_2(t)}.
Como em geral
\frac{1}{u_1+u_2}\neq \frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2},
fica claro que o sistema não satisfaz a aditividade.

Passo 3

Verificação da homogeneidade: tome um escalar \alpha. Se a entrada é \alpha\,u(t), a saída passa a ser
y_{\alpha}(t) =\frac{1}{\alpha\,u(t)} =\frac{1}{\alpha}\,\frac{1}{u(t)} =\frac{1}{\alpha}\,y(t).
Para ser linear, precisaria que y_{\alpha}(t)=\alpha\,y(t), mas vimos que y_{\alpha}(t)=\tfrac{1}{\alpha}\,y(t). Logo, a homogeneidade também falha.

Passo 4

Como falham tanto a aditividade quanto a homogeneidade, o sistema não satisfaz o princípio da superposição e, portanto, não é linear.

Resposta

O sistema não é linear.

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