O sistema que representa um controlador industrial PID é dado por
y(t)=10 u(t)+2 \int u(t) d t+3 \frac{d}{d t} u(t)
Ele é linear?

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de tempo contínuo
y(t)=10\,u(t)+2\int u(t)\,dt+3\frac{d}{dt}u(t)
e pergunta se ele é linear. O conteúdo aqui é verificar a propriedade de superposição (homogeneidade e aditividade) em sistemas LTI.

Passo 2

Vamos checar a homogeneidade. Suponha que a entrada seja escalada por um escalar \alpha, ou seja, u_1(t)=\alpha\,u(t). Então a saída associada é
y_1(t) =10\,u_1(t)+2\int u_1(t)\,dt+3\frac{d}{dt}u_1(t) =10(\alpha u(t))+2\int(\alpha u(t))\,dt+3\frac{d}{dt}(\alpha u(t)).
Como integral e derivada são operações lineares, podemos colocar \alpha em evidência em cada termo, obtendo
y_1(t)=\alpha\bigl[10\,u(t)+2\int u(t)\,dt+3\frac{d}{dt}u(t)\bigr] =\alpha\,y(t),
o que mostra a homogeneidade.

Passo 3

Agora conferimos a aditividade. Considere duas entradas u_a(t) e u_b(t) com respectivas saídas y_a(t) e y_b(t). Se aplicarmos a soma u_a(t)+u_b(t), a saída será
y_{a+b}(t) =10\bigl[u_a(t)+u_b(t)\bigr] +2\int\bigl[u_a(t)+u_b(t)\bigr]dt +3\frac{d}{dt}\bigl[u_a(t)+u_b(t)\bigr].
Pela linearidade da soma, isso se separa em
y_{a+b}(t) =\bigl[10u_a+2\int u_a+3\frac{d}{dt}u_a\bigr] +\bigl[10u_b+2\int u_b+3\frac{d}{dt}u_b\bigr] =y_a(t)+y_b(t),
confirmando a aditividade.

Passo 4

Como o sistema satisfaz tanto a homogeneidade quanto a aditividade, concluímos que ele é linear.

Resposta

Sim, o sistema é linear.

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