O sistema que representa um controlador industrial PID é dado por
Ele é linear?
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema de tempo contínuo
e pergunta se ele é linear. O conteúdo aqui é verificar a propriedade de superposição (homogeneidade e aditividade) em sistemas LTI.
Passo 2
Vamos checar a homogeneidade. Suponha que a entrada seja escalada por um escalar
, ou seja,
. Então a saída associada é
Como integral e derivada são operações lineares, podemos colocar
em evidência em cada termo, obtendo
o que mostra a homogeneidade.
Passo 3
Agora conferimos a aditividade. Considere duas entradas
e
com respectivas saídas
e
. Se aplicarmos a soma
, a saída será
Pela linearidade da soma, isso se separa em
confirmando a aditividade.
Passo 4
Como o sistema satisfaz tanto a homogeneidade quanto a aditividade, concluímos que ele é linear.
Resposta
Sim, o sistema é linear.