O sistema y(t)=\sqrt{u^{2}(t)} é linear?

Passo 1

O enunciado define um sistema estático, sem memória, dado por
y(t)=\sqrt{u^2(t)}\,,
o que equivale a
y(t)=\lvert u(t)\rvert.
Para checar se é linear, vamos testar as propriedades de aditividade e homogeneidade (superposição).

Passo 2

Teste da aditividade. Sejam u_1(t) e u_2(t) duas entradas quaisquer. A saída para a soma das entradas é
y\bigl(t;\,u_1+u_2\bigr)=\bigl\lvert u_1(t)+u_2(t)\bigr\rvert,
enquanto a soma das saídas individuais é
y\bigl(t;u_1\bigr)+y\bigl(t;u_2\bigr)=\lvert u_1(t)\rvert+\lvert u_2(t)\rvert.
Em geral
\bigl\lvert u_1+u_2\bigr\rvert\neq\lvert u_1\rvert+\lvert u_2\rvert.
Por exemplo, num instante t_0 tome u_1(t_0)=1 e u_2(t_0)=-1. Então
\lvert1+(-1)\rvert=0 \quad\text{e}\quad \lvert1\rvert+\lvert{-1}\rvert=2,
logo falha a aditividade.

Passo 3

Teste da homogeneidade. Seja um escalar \alpha. A saída para a entrada escalada é
y\bigl(t;\,\alpha u\bigr) =\bigl\lvert\alpha\,u(t)\bigr\rvert =\lvert\alpha\rvert\,\lvert u(t)\rvert.
Para homogeneidade esperaríamos
y\bigl(t;\,\alpha u\bigr) =\alpha\,y\bigl(t;u\bigr) =\alpha\,\lvert u(t)\rvert.
Como em geral \lvert\alpha\rvert\neq\alpha (por exemplo se \alpha<0), o sistema falha também nesse teste.

Resposta

Não, o sistema não é linear, pois não satisfaz nem aditividade nem homogeneidade.

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