Em cada item, reescreva a equação ou o modelo dado como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem. Indique claramente as variáveis de estado e escreva o sistema no formato dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(t, \mathbf{x}).
Reescreva como sistema de 1{ }^{\text {a }} ordem
y^{\prime \prime}(t)+3 y^{\prime}(t)+2 y(t)=4 \cos (2 t)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem não homogênea
y''(t) + 3\,y'(t) + 2\,y(t) = 4\cos(2t).
O conteúdo é transformação de uma EDO de ordem 2 num sistema de EDOs de primeira ordem. Para isso, precisamos definir variáveis de estado que transformem a derivada de segunda ordem em derivadas de primeira ordem.

Passo 2

Definimos as variáveis de estado
x_{1}(t) = y(t), \quad x_{2}(t) = y'(t).
Então temos
\dot x_{1}(t) = x_{2}(t),
e, usando a equação original para y'',
\dot x_{2}(t) = y''(t) = -3\,y'(t) - 2\,y(t) + 4\cos(2t) = -3\,x_{2}(t) - 2\,x_{1}(t) + 4\cos(2t).

Passo 3

Agora montamos o vetor de estado
\mathbf{x}(t) = \begin{pmatrix}x_{1}(t) \\[6pt] x_{2}(t)\end{pmatrix}
e escrevemos o sistema no formato \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(t,\mathbf{x}):]

Resposta

\dot{\mathbf{x}}(t) = \begin{pmatrix} \dot x_{1}(t) \\[4pt] \dot x_{2}(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{2}(t) \\[6pt] -3\,x_{2}(t)\;-\;2\,x_{1}(t)\;+\;4\cos(2t) \end{pmatrix}.
As variáveis de estado são \mathbf{x}(t) = (x_{1}(t),x_{2}(t))^{T}.]

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