Em cada item, reescreva a equação ou o modelo dado como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem. Indique claramente as variáveis de estado e escreva o sistema no formato dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(t, \mathbf{x}).
Reescreva como sistema de 1{ }^{\underline{\mathrm{a}}} ordem
\theta^{\prime \prime}(t)=-7 \sin (\theta(t))+3 \theta^{\prime}(t)

Passo 1

O enunciado pede para transformar a equação de segunda ordem
\theta''(t) = -7\sin\bigl(\theta(t)\bigr) + 3\,\theta'(t)
num sistema de primeira ordem da forma \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(t,\mathbf{x}). Vamos usar o método padrão de definir variáveis de estado para reduzir a ordem.

Passo 2

Definimos as variáveis de estado
x_{1}(t) = \theta(t), \quad x_{2}(t) = \theta'(t).
Dessa forma, a derivada de x_{1} em relação a t é simplesmente x_{2}. E a derivada de x_{2} vem da equação original.

Passo 3

Escrevendo as derivadas:
\dot x_{1}(t) = x_{2}(t), \qquad \dot x_{2}(t) = -7\sin\bigl(x_{1}(t)\bigr) + 3\,x_{2}(t).
Em forma vetorial, com \mathbf{x}(t) = \begin{pmatrix}x_{1}(t)\x_{2}(t)\end{pmatrix}, temos
\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{f}\bigl(t,\mathbf{x}(t)\bigr) = \begin{pmatrix} x_{2}(t)\\[6pt] -7\sin\bigl(x_{1}(t)\bigr) + 3\,x_{2}(t) \end{pmatrix}.]

Resposta

Variáveis de estado:
\mathbf{x}(t) = \begin{pmatrix}x_{1}(t)\x_{2}(t)\end{pmatrix} \quad\text{com}\quad x_{1}(t)=\theta(t),\;x_{2}(t)=\theta'(t).
Sistema no formato \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(t,\mathbf{x}):
\dot{\mathbf{x}}(t) = \begin{pmatrix} x_{2}(t)\\\\ -7\sin\bigl(x_{1}(t)\bigr) + 3\,x_{2}(t) \end{pmatrix}.

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