Em cada item, reescreva a equação ou o modelo dado como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem. Indique claramente as variáveis de estado e escreva o sistema no formato dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(t, \mathbf{x}).
Reescreva como sistema de 1{ }^{\text {a }} ordem
z^{\prime \prime}(t)=-5 z(t)^{3}+0,5 z^{\prime}(t)+t

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial de segunda ordem
z''(t) = -5\,z(t)^3 + 0,5\,z'(t) + t
e pede para reescrevê-la como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem no formato \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(t,\mathbf{x}). O conteúdo é transformação de uma EDO de ordem superior em sistema de EDOs de primeira ordem, e vamos precisar definir variáveis de estado apropriadas.

Passo 2

Definimos as variáveis de estado
x_{1}(t) = z(t), \quad x_{2}(t) = z'(t).
Então temos
\dot x_{1}(t) = x_{2}(t), \quad \dot x_{2}(t) = -5\,x_{1}(t)^3 + 0,5\,x_{2}(t) + t.

Resposta

Definindo
\mathbf{x}(t) = \begin{pmatrix}x_{1}(t)\x_{2}(t)\end{pmatrix},
o sistema em primeira ordem fica
\dot{\mathbf{x}}(t) = \begin{pmatrix} x_{2}(t)\\\\ -5\,x_{1}(t)^{3} + 0,5\,x_{2}(t) + t \end{pmatrix} \,.

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