Em cada item, reescreva a equação ou o modelo dado como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem. Indique claramente as variáveis de estado e escreva o sistema no formato dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(t, \mathbf{x}).
Reescreva como sistema de 1{ }^{\text {a }} ordem
w^{\prime \prime}(t)+4 w(t)=6 \sin t

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de segunda ordem
w''(t)+4\,w(t)=6\sin t
e pede para reescrevê-la como sistema de equações diferenciais de primeira ordem no formato \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(t,\mathbf{x}). O conteúdo envolve transformação de EDO de ordem superior em sistema de primeira ordem, definindo variáveis de estado adequadas.

Passo 2

Definimos as variáveis de estado
x_{1}(t)=w(t), \quad x_{2}(t)=w'(t).
Com isso,
x_{1}'(t)=w'(t)=x_{2}(t),
x_{2}'(t)=w''(t)=-4\,w(t)+6\sin t=-4\,x_{1}(t)+6\sin t.

Passo 3

Colocando em forma vetorial, introduzimos
\mathbf{x}(t)=\begin{pmatrix}x_{1}(t)\x_{2}(t)\end{pmatrix},
e obtemos o sistema
\dot{\mathbf{x}}(t) = \begin{pmatrix} x_{1}'(t)\\[6pt]x_{2}'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{2}(t)\\[6pt]-4\,x_{1}(t)+6\sin t \end{pmatrix}.
Logo,
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(t,\mathbf{x}), \quad \mathbf{f}(t,\mathbf{x})=\begin{pmatrix}x_{2}\\\ -4\,x_{1}+6\sin t\end{pmatrix}.]

Resposta

\displaystyle \mathbf{x}(t)=\begin{pmatrix}x_{1}(t)\x_{2}(t)\end{pmatrix},
\dot{\mathbf{x}}(t) = \begin{pmatrix} x_{2}(t)\\[4pt] -4\,x_{1}(t)+6\sin t \end{pmatrix}.]

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