Derive e simplifique.
f(x)=raiz[3]2 x+3 / raiz3 x+2

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f(x)=raiz[3]2x+3raiz3x+2. O conteúdo principal envolve derivada de funções compostas e regras de expoentes, e vamos usar derivada logarítmica para facilitar.

Passo 2

Reescrevemos f(x) em termos de potências: raiz[3]2x+3=(2x+3)^1/3 e raiz3x+2=(3x+2)^1/2, logo
$$f(x)=(2x+3){1/3},(3x+2){-1/2}.
$$

Passo 3

Aplicamos a derivada logarítmica definindo
$$\ln f(x)=\frac{1}{3}\ln(2x+3)-\frac{1}{2}\ln(3x+2).
$$

Passo 4

Derivando ambos os lados obtemos
$$\frac{f’(x)}{f(x)}=\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{2x+3}-\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{3x+2}=\frac{2}{3(2x+3)}-\frac{3}{2(3x+2)}.
$$

Passo 5

Como f'(x)=f(x)cdotl(23(2x+3)-32(3x+2)r) e f(x)=(2x+3)^1/3(3x+2)^-1/2, substituímos e simplificamos. Fazendo a soma de frações e combinando as potências,
$$\frac{2}{3(2x+3)}-\frac{3}{2(3x+2)}=\frac{4(3x+2)-9(2x+3)}{6(2x+3)(3x+2)}=\frac{-6x-19}{6(2x+3)(3x+2)},
$$ logo
$$f’(x)=\frac{-6x-19}{6},(2x+3){-2/3},(3x+2){-3/2}.
$$

Resposta

-6x+196(2x+3)^2/3(3x+2)^3/2

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