Derive e simplifique.
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
. O conteúdo principal envolve derivada de funções compostas e regras de expoentes, e vamos usar derivada logarítmica para facilitar.
Passo 2
Reescrevemos
em termos de potências:
e
, logo
$$f(x)=(2x+3){1/3},(3x+2){-1/2}.
$$
Passo 3
Aplicamos a derivada logarítmica definindo
$$\ln f(x)=\frac{1}{3}\ln(2x+3)-\frac{1}{2}\ln(3x+2).
$$
Passo 4
Derivando ambos os lados obtemos
$$\frac{f’(x)}{f(x)}=\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{2x+3}-\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{3x+2}=\frac{2}{3(2x+3)}-\frac{3}{2(3x+2)}.
$$
Passo 5
Como
e
, substituímos e simplificamos. Fazendo a soma de frações e combinando as potências,
$$\frac{2}{3(2x+3)}-\frac{3}{2(3x+2)}=\frac{4(3x+2)-9(2x+3)}{6(2x+3)(3x+2)}=\frac{-6x-19}{6(2x+3)(3x+2)},
$$ logo
$$f’(x)=\frac{-6x-19}{6},(2x+3){-2/3},(3x+2){-3/2}.
$$