Em cada item, a região delimitada pelas curvas abaixo é rotacionada em torno do eixo dado gerando um sólido. Calcule o volume do sólido.
A região limitada por y=2 x-x^2 e por y=x em torno:
  • a) do eixo y
  • b) da reta x=1.

Passo 1

A questão pede o volume do sólido obtido ao girar a região limitada por y=2x-x^2 e y=x em torno de eixos verticais. O conteúdo é sólidos de revolução, e vamos usar o método dos cascos cilíndricos (shells) pois a rotação é em torno de retas verticais.

Passo 2

Primeiro, encontramos os pontos de interseção das curvas resolvendo x = 2x - x^2. Reorganizando, temos x^2 - x = 0 e, portanto, x(x-1)=0. Então x=0 ou x=1. Nesses pontos y=x y=0 e y=1. Logo a região vai de x=0 a x=1.
A altura de cada casca cilíndrica é a diferença entre a curva de cima e a de baixo: ytopo-yfundo = (2x - x^2) - x = x - x^2

Passo 3

(a) Para girar em torno do eixo y, cada casca tem raio x e altura x - x^2. O volume é dado por
Va = 2pi integral0^1 xl(x - x^2r),dx

Passo 4

Integrando,
2pi integral0^1 (x^2 - x^3),dx = 2pi l[tfracx^33 - tfracx^44r]0^1 = 2pil(tfrac13-tfrac14r)=2picdottfrac112=tfracpi6

Passo 5

(b) Para girar em torno da reta x=1, usamos cascos de raio 1-x e mesma altura x-x^2. O volume é
Vb = 2pi integral0^1 (1-x)l(x - x^2r),dx

Passo 6

Expandindo a integranda: (1-x)(x-x^2)=x-2x^2+x^3. Então
2pi integral0^1(x-2x^2+x^3),dx =2pil[tfracx^22-tfrac2x^33+tfracx^44r]0^1=2pil(tfrac12-tfrac23+tfrac14r)=2picdottfrac112=tfracpi6

Passo 7

Concluímos que em ambos os casos o volume do sólido é tfracpi6.

Resposta

a) tfracpi6 b) tfracpi6

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