Em cada item, a região delimitada pelas curvas abaixo é rotacionada em torno do eixo dado gerando um sólido. Calcule o volume do sólido.
A região limitada por
e por
em torno:
- a) do eixo
- b) da reta
.
A região limitada por
Passo 1
A questão pede o volume do sólido obtido ao girar a região limitada por
e
em torno de eixos verticais. O conteúdo é sólidos de revolução, e vamos usar o método dos cascos cilíndricos (shells) pois a rotação é em torno de retas verticais.
Passo 2
Primeiro, encontramos os pontos de interseção das curvas resolvendo
. Reorganizando, temos
e, portanto,
. Então
ou
. Nesses pontos
dá
e
. Logo a região vai de
a
.
A altura de cada casca cilíndrica é a diferença entre a curva de cima e a de baixo:
A altura de cada casca cilíndrica é a diferença entre a curva de cima e a de baixo:
Passo 3
(a) Para girar em torno do eixo
, cada casca tem raio
e altura
. O volume é dado por
Passo 4
Integrando,
Passo 5
(b) Para girar em torno da reta
, usamos cascos de raio
e mesma altura
. O volume é
Passo 6
Expandindo a integranda:
. Então
Passo 7
Concluímos que em ambos os casos o volume do sólido é
.
Resposta
a)
b)