Prove o Teorema do Valor Inicial: Se
e
forem funções admissíveis à Laplace e
, então
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sob condições de Laplace-transformabilidade de
e
, vale
. Aqui o conteúdo é o Teorema do Valor Inicial da transformada de Laplace, e vamos precisar da definição de
e da propriedade de transformada da derivada.
Passo 2
Começamos escrevendo
e aplicamos integração por partes. Tomamos
e
,
logo e
. Isso leva a
logo
A avaliação no expoente dá
, ou seja,
Passo 3
Como
também é admissível à Laplace, o termo
é a transformada
, e por propriedades de transformadas de funções de ordem exponencial esse integral tende a zero quando
.
Passo 4
Tomamos o limite
em
e, como o segundo termo some, obtemos
Assim fica provado o Teorema do Valor Inicial.