Prove o Teorema do Valor Inicial: Se f^prime e f forem funções admissíveis à Laplace e f(0^+):=lim t 0^+ f(t)=lim s +infty s F(s) , então

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sob condições de Laplace-transformabilidade de f e f', vale f(0^+)=limsto+inftysF(s). Aqui o conteúdo é o Teorema do Valor Inicial da transformada de Laplace, e vamos precisar da definição de F(s)=Lf(t) e da propriedade de transformada da derivada.

Passo 2

Começamos escrevendo
sF(s)=sintegral0^+inftyf(t)e^-st,dt
e aplicamos integração por partes. Tomamos
u=f(t) e dv=s e^-stdt,
logo du=f'(t)dt e v=-e^-st. Isso leva a
sF(s)=l[-f(t)e^-str]0^+infty+integral0^+inftyf'(t)e^-st,dt
A avaliação no expoente dá 0-f(0^+)cdot(-1)=f(0^+), ou seja,
sF(s)=f(0^+)+integral0^+inftyf'(t)e^-st,dt .

Passo 3

Como f' também é admissível à Laplace, o termo
integral0^+inftyf'(t)e^-st,dt é a transformada Lf'(t), e por propriedades de transformadas de funções de ordem exponencial esse integral tende a zero quando sto+infty.

Passo 4

Tomamos o limite sto+infty em
sF(s)=f(0^+)+integral0^+inftyf'(t)e^-st,dt
e, como o segundo termo some, obtemos
limsto+inftysF(s)=f(0^+)
Assim fica provado o Teorema do Valor Inicial.

Resposta

f(0^+)=limsto+inftysF(s)

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