Em cada item, a região delimitada pelas curvas abaixo é rotacionada em torno do eixo dado gerando um sólido. Calcule o volume do sólido.
Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada pela parábola y=x^2 e pela reta y=1 em torno:
  • a) da reta y=1
  • b) da reta y=2
  • c) da reta y=-1.

Passo 1

A gente tem a região entre a parábola y = x² e a reta y = 1, ou seja, para x variando de –1 a 1, y vai de x² até 1. Como vamos girar em torno de retas horizontais, o método dos discos (ou anéis) é o mais prático: o volume é V = pi integralx=-1^1 l[Rexterno^2(x) - Rinterno^2(x)r] ,dx, onde os raios são as distâncias verticais entre cada curva e o eixo de revolução.

Passo 2

Para o item (a), eixo y = 1: a reta y = 1 fica a zero de distância (raio interno r(x)=0) e a parábola y = x² fica a distância R(x)=1 - x^2. Então
Va = pi integral-1^1 l((1 - x^2)^2 - 0^2r) ,dx = pi integral-1^1 (1 - 2x^2 + x^4) ,dx
Fazendo a integral: integral-1^11=2, integral-1^1x^2=2/3, integral-1^1x^4=2/5. Logo
Va = pil(2 - 2cdottfrac23 + tfrac25r) = picdottfrac1615 = tfrac16pi15

Passo 3

Para (b), eixo y = 2: agora o raio até a reta y = 1 é constante r=2-1=1 e até a parábola é R(x)=2 - x^2. Então
Vb = pi integral-1^1 l((2 - x^2)^2 - 1^2r) ,dx = pi integral-1^1 (4 - 4x^2 + x^4 -1) ,dx
Isso dá integral-1^1(3 -4x^2 + x^4) = 2(3 - 4/3 + 1/5) = 56/15. Logo
Vb = tfrac56pi15

Passo 4

Para ©, eixo y = -1: o raio até a reta y = 1 é R=1-(-1)=2 e até a parábola é r(x)=x^2 -(-1)=x^2+1. Assim
Vc = pi integral-1^1 l(2^2 - (x^2+1)^2r) ,dx = pi integral-1^1 (4 - x^4 -2x^2 -1) ,dx
Calculando integral-1^1(3 -2x^2 -x^4) = 64/15, a gente obtém
Vc = tfrac64pi15

Resposta

a) tfrac16pi15 b) tfrac56pi15 c) tfrac64pi15

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