Em cada item, a região delimitada pelas curvas abaixo é rotacionada em torno do eixo dado gerando um sólido. Calcule o volume do sólido.
Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada pela parábola
e pela reta
torno:
- a) da reta
- b) da reta
- c) da reta
.
Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada pela parábola
Passo 1
A gente tem a região entre a parábola y = x² e a reta y = 1, ou seja, para x variando de –1 a 1, y vai de x² até 1. Como vamos girar em torno de retas horizontais, o método dos discos (ou anéis) é o mais prático: o volume é
, onde os raios são as distâncias verticais entre cada curva e o eixo de revolução.
Passo 2
Para o item (a), eixo y = 1: a reta y = 1 fica a zero de distância (raio interno
) e a parábola y = x² fica a distância
. Então
Fazendo a integral:
Passo 3
Para (b), eixo y = 2: agora o raio até a reta y = 1 é constante
e até a parábola é
. Então
Isso dá
Passo 4
Para ©, eixo y = -1: o raio até a reta y = 1 é
e até a parábola é
. Assim
Calculando
Resposta
a)
b)
c)