Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
a) (1,0 ponto) S: R^2 longrightarrow R^3, definida por T(x, y)=(x, 0, x y), é uma transformação linear.
b) ( 1,0 ponto) w=(-1,3) é um autovetor do operador linear T: R^2 longrightarrow R^2, definido por T(x, y)=(x+y, 6 x).

Passo 1

O enunciado pede para determinar se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando. O conteúdo envolve transformações lineares (propriedades de aditividade e homogeneidade) e autovalores/autovetores (verificar se T(w) é múltiplo escalar de w).

Passo 2

Para (a), definimos ScolonR^2toR^3 por
S(x,y)=(x,0,xy)
Se fosse linear, valeria
S((1,0)+(0,1));=;S(1,1);=;(1,0,1)
e
S(1,0)+S(0,1)=(1,0,0)+(0,0,0)=(1,0,0)
Como (1,0,1)neq(1,0,0), a aditividade falha. Logo, S não é linear, pois o termo xy introduz produtos cruzados que violam a aditividade.

Passo 3

Para (b), temos TcolonR^2toR^2 dada por
T(x,y)=(x+y,6x)
e o vetor w=(-1,3). Calculamos
T(-1,3)=(-1+3,6cdot(-1))=(2,-6)
Observe que
(2,-6)=-2,(-1,3)=-2,w,
ou seja, T(w)=lambda w com lambda=-2. Portanto, w é autovetor de T associado ao autovalor -2.

Resposta

a) F
b) V

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