Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
a) (1,0 ponto)
, definida por
, é uma transformação linear.
b) ( 1,0 ponto)
é um autovetor do operador linear
, definido por
.
a) (1,0 ponto)
b) ( 1,0 ponto)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando. O conteúdo envolve transformações lineares (propriedades de aditividade e homogeneidade) e autovalores/autovetores (verificar se
é múltiplo escalar de
).
Passo 2
Para (a), definimos
por
Se fosse linear, valeria
e
Como
, a aditividade falha. Logo,
não é linear, pois o termo
introduz produtos cruzados que violam a aditividade.
Passo 3
Para (b), temos
dada por
e o vetor
. Calculamos
Observe que
ou seja,
com
. Portanto,
é autovetor de
associado ao autovalor
.
Resposta
a) F
b) V
b) V