Considere a transformação linear T: R^2 longrightarrow R^2, definida por T(x, y)=(3 x-5 y, x-2 y).
a) (1,0 ponto) Mostre que T é um isomorfismo.
b) (1,0 ponto) Determine T^-1(x, y).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear Tcolon R^2 to R^2 dada por
T(x,y) = (,3x - 5y,; x - 2y,)
e pede:
a) mostrar que T é um isomorfismo;
b) determinar T^-1(x,y).
Para isso vamos usar a matriz de T, verificar que seu determinante é não nulo (o que garante bijeção) e depois resolver o sistema linear (u,v)=T(x,y) para achar a inversa.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A = 3 & -51 & -2
Calculamos o determinante:
det(A) = 3 cdot (-2) - (-5) cdot 1 = -6 + 5 = -1 neq 0
Como det(A) neq 0, A é invertível, logo T é bijetora e, portanto, um isomorfismo.

Passo 3

Para achar T^-1, seja (u,v)=T(x,y). Então
u = 3x - 5y,
v = x - 2y
Da segunda equação obtemos x = v + 2y. Substituindo em u:
u = 3(v + 2y) - 5y = 3v + 6y - 5y = 3v + y Longrightarrow y = u - 3v
Logo
x = v + 2(u - 3v) = 2u - 5v
Portanto, para qualquer (u,v) no contradomínio,
T^-1(u,v) ;=;l(2u - 5v,;u - 3vr)

Resposta

(a) T é isomorfismo porque a matriz associada tem determinante -1neq0.
(b) T^-1(x,y) = l(2x - 5y,;x - 3yr)

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