Considere a transformação linear
, definida por
.
a) (1,0 ponto) Mostre que
é um isomorfismo.
b) (1,0 ponto) Determine
.
a) (1,0 ponto) Mostre que
b) (1,0 ponto) Determine
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
dada por
e pede:
a) mostrar que é um isomorfismo;
b) determinar .
Para isso vamos usar a matriz de , verificar que seu determinante é não nulo (o que garante bijeção) e depois resolver o sistema linear
para achar a inversa.
a) mostrar que
b) determinar
Para isso vamos usar a matriz de
Passo 2
A matriz de
na base canônica é
Calculamos o determinante:
Como
,
é invertível, logo
é bijetora e, portanto, um isomorfismo.
Passo 3
Para achar
, seja
. Então
Da segunda equação obtemos
. Substituindo em
:
Logo
Portanto, para qualquer
no contradomínio,
Resposta
(a)
é isomorfismo porque a matriz associada tem determinante
.
(b)
(b)