Considere as transformações lineares T: R^3 longrightarrow M2(R) e S: M2(R) longrightarrow R^2 dadas por T(1,0,1)=(cc1 & 0 0 & -1), T(1,1,0)=(cc2 & -1 0 & -1), T(1,0,0)=(cc1 & -1 0 & 0) e [S]gamma^beta=(cccc2 & 2 & -1 & -1 -1 & -1 & 1 & 1).
Sejam alpha=(1,0,1),(1,1,0),(1,0,0) (base do R^3), beta a base canônica do M2(R) e gamma=(1,1),(1,2) (base do R^2).
a) ( 1,5 ponto) Determine as dimensões do núcleo e da imagem de T.
b) (1,0 ponto) Determine S(lla & b c & d).
c) (1,5 ponto) Determine [T]beta^alpha e [S circ T]gamma^alpha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado trata de transformações lineares entre espaços vetoriais. Precisamos entender algumas definições básicas, como núcleo e imagem de uma transformação linear. No item (a), vamos determinar as dimensões do núcleo e da imagem da transformação T . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados ao posto e ao espaço nulo de uma matriz que representa a transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são o núcleo e a imagem de uma transformação linear. O núcleo de T , denotado por ker(T) , é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para a matriz zero. A imagem de T , denotada por Im(T) , é o conjunto de todas as matrizes que podem ser obtidas aplicando T a algum vetor em R^3 .

Passo 3

Para encontrar ker(T) e Im(T) , precisamos primeiro encontrar a representação matricial de T na base alpha de R^3 e na base canônica beta de M2(R) . As imagens dos vetores da base alpha são dadas no enunciado:
T(1,0,1) = 1 & 0 0 & -1 , T(1,1,0) = 2 & -1 0 & -1 , T(1,0,0) = 1 & -1 0 & 0

Passo 4

Vamos montar a matriz de T em relação às bases alpha e beta . Cada coluna dessa matriz corresponde à transformação de um vetor da base alpha expressa na base beta . Assim, temos:
[T]beta^alpha = 1 & 2 & 1 0 & -1 & -1 0 & 0 & 0 -1 & -1 & 0

Passo 5

Agora, para encontrar o núcleo de T , precisamos resolver a equação [T]beta^alpha cdot x = 0 , onde x é um vetor em R^3 . Montamos o sistema linear:
1x1 + 2x2 + 1x3 = 0 0x1 - 1x2 - 1x3 = 0 0x1 + 0x2 + 0x3 = 0 -1x1 - 1x2 + 0x3 = 0

Passo 6

Resolvendo o sistema, observamos que a terceira equação é trivial ( 0 = 0 ). Das outras equações:
  1. x1 + 2x2 + x3 = 0
  2. -x2 - x3 = 0 Rightarrow x2 = -x3
  3. -x1 - x2 = 0 Rightarrow x1 = -x2
Substituindo x2 = -x3 na terceira equação: x1 = -(-x3) = x3 .
Assim, todas as variáveis podem ser expressas em termos de x3 :
x1 = x3, x2 = -x3, x3 = x3

Passo 7

Isso significa que o núcleo de T é gerado por vetores da forma x3(1, -1, 1) . Portanto, o núcleo de T é uma reta no espaço, ou seja, tem dimensão 1.

Passo 8

Para encontrar a dimensão da imagem de T , usamos o Teorema da Dimensão, que diz que:
dim(ker(T)) + dim(Im(T)) = dim(R^3) = 3
Já sabemos que dim(ker(T)) = 1 , então:
1 + dim(Im(T)) = 3 Rightarrow dim(Im(T)) = 2

Resposta

Resposta:
a) O núcleo de T tem dimensão 1 e a imagem de T tem dimensão 2.

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