Considere as transformações lineares e dadas por e [S]gamma^beta=(cccc2 & 2 & -1 & -1 -1 & -1 & 1 & 1).
Sejam alpha=(1,0,1),(1,1,0),(1,0,0) (base do R^3), beta a base canônica do M2(R) e gamma=(1,1),(1,2) (base do R^2).
a) ( 1,5 ponto) Determine as dimensões do núcleo e da imagem de T.
b) (1,0 ponto) Determine S(lla & b c & d).
c) (1,5 ponto) Determine [T]beta^alpha e [S circ T]gamma^alpha.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado trata de transformações lineares entre espaços vetoriais. Precisamos entender algumas definições básicas, como núcleo e imagem de uma transformação linear. No item (a), vamos determinar as dimensões do núcleo e da imagem da transformação T . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados ao posto e ao espaço nulo de uma matriz que representa a transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são o núcleo e a imagem de uma transformação linear. O núcleo de T , denotado por ker(T) , é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para a matriz zero. A imagem de T , denotada por Im(T) , é o conjunto de todas as matrizes que podem ser obtidas aplicando T a algum vetor em R^3 .
Passo 3
Para encontrar ker(T) e Im(T) , precisamos primeiro encontrar a representação matricial de T na base alpha de R^3 e na base canônica beta de M2(R) . As imagens dos vetores da base alpha são dadas no enunciado:
Vamos montar a matriz de T em relação às bases alpha e beta . Cada coluna dessa matriz corresponde à transformação de um vetor da base alpha expressa na base beta . Assim, temos: