1. Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
    a) (1,0 ponto) S: R^2 longrightarrow R^3, definida por S(x, y)=(0, x, 2 x-y), é uma transformação linear.
    b) (1,0 ponto) lambda=2 é autovalor do operador linear T: R^3 longrightarrow R^3 definido por T(x, y, z)=(x+y+z, x+2 y, 3 z).

Passo 1

O enunciado pede em (a) verificar se
Scolon R^2toR^3,
S(x,y)=(0,x,2x-y)
é transformação linear, ou seja, se preserva soma e produto por escalar. Em (b) precisamos checar se lambda=2 é autovalor do operador
Tcolon R^3toR^3,
T(x,y,z)=(x+y+z,;x+2y,;3z), isto é, se existe vetor não-nulo v tal que T(v)=2,v.

Passo 2

Para (a), usamos a definição: S é linear se, para quaisquer (x1,y1),(x2,y2) e escalar k, valerem
S((x1,y1)+(x2,y2))=S(x1,y1)+S(x2,y2),
Sl(k(x,y)r)=k,S(x,y)
De fato,
S(x1+x2,;y1+y2) =(0,;x1+x2,;2(x1+x2)-(y1+y2))
=l(0,x1,2x1-y1r)+l(0,x2,2x2-y2r) =S(x1,y1)+S(x2,y2),
e
Sl(kx,k yr) =(0,kx,2kx-ky) =k,(0,x,2x-y) =k,S(x,y)
Logo, S é linear.

Passo 3

Para (b), procuramos vetor não-nulo
Isso dá o sistema
Da segunda equação vem . Substituindo em obtemos . A única solução é o vetor trivial, logo não há vetor próprio para . Portanto não é autovalor de .

Resposta

a) V
b) F

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