Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
a) (1,0 ponto) , definida por , é uma transformação linear.
b) (1,0 ponto) é autovalor do operador linear definido por .
Passo 1
O enunciado pede em (a) verificar se ,
é transformação linear, ou seja, se preserva soma e produto por escalar. Em (b) precisamos checar se é autovalor do operador , , isto é, se existe vetor não-nulo tal que .
Passo 2
Para (a), usamos a definição: é linear se, para quaisquer e escalar , valerem
De fato,
e
Logo, é linear.
Passo 3
Para (b), procuramos vetor não-nulo
Isso dá o sistema
Da segunda equação vem . Substituindo em obtemos . A única solução é o vetor trivial, logo não há vetor próprio para . Portanto não é autovalor de .