1. Considere as transformações lineares T: R^2 longrightarrow M2(R) e S: M2(R) longrightarrow R^3 dadas por
T(1,1)=(cc 1 & 2 1 & 0 ), T(0,-1)=(cc -1 & -2 0 & -1 ) e [S]gamma^beta=(cccc 0 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & 0 1 & -1 & -1 & -1 )
Sejam alpha=(1,1),(0,-1) (base do R^2 ), beta a base canônica do M2(R) e gamma=(1,0,1),(1,1,0),(1,0,0) (base do R^3).
a) ( 1,5 ponto) Determine as dimensões do núcleo e da imagem de S.
b) ( 1,0 ponto) Determine T(x, y).
c) ( 1,5 ponto) Determine [T]beta^alpha e [S circ T]gamma^alpha.

Passo 1

O enunciado define
  • Tcolon R^2to M2(R) linear, com
T(1,1)=1&21&0, T(0,-1)=-1&-20&-1,
  • Scolon M2(R)toR^3 linear, cuja matriz na base canônica de M2(R) e na base gamma de R^3 é
[S]gamma^beta = 0&0&1&1 0&1&0&0 1&-1&-1&-1
As bases são
alpha=(1,1),(0,-1),
beta canônica de M2(R) e
gamma=(1,0,1),(1,1,0),(1,0,0).
Pede-se
a) dimker S e dimIm S,
b) fórmula de T(x,y),
c) [T]beta^alpha e [Scirc T]gamma^alpha.

Passo 2

Para temos dimensão do domínio e da imagem . Escrevendo as colunas de como
vemos que e que são L.I., logo
Pelo teorema núcleo-imagem

Passo 3

Para achar T(x,y) escrevemos
(x,y)=a(1,1)+b(0,-1) Longrightarrow x=a,;;y=a-b ;Longrightarrow; a=x,;b=x-y
Como T é linear,
T(x,y) =x,T(1,1)+(x-y),T(0,-1) =x1&21&0 +(x-y)-1&-20&-1
Calculando entrada a entrada:
T(x,y) = x-(x-y)&2x-2(x-y) x+0&(0)-(x-y) = y&2y x&y-x

Passo 4

A matriz de T de alpha para a base canônica beta de M2(R) tem colunas dadas pelas coordenadas de T(1,1) e T(0,-1). Como
T(1,1)=1&21&0 =1,e11+2,e12+1,e21+0,e22,
T(0,-1)=-1&-20&-1 =-1,e11-2,e12+0,e21-1,e22,
temos
[T]beta^alpha = 1 & -1 2 & -2 1 & 0 0 & -1

Passo 5

Para [Scirc T]gamma^alpha multiplicamos
[S]gamma^beta ( 3times 4) por [T]beta^alpha ( 4times 2):
[Scirc T]gamma^alpha =[S]gamma^beta,[T]beta^alpha = 0&0&1&1 0&1&0&0 1&-1&-1&-1 1 & -1 2 & -2 1 & 0 0 & -1 = 1 & -1 2 & -2 -2& 2

Resposta

a) , .
b)
c)

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