Em cada item responda verdadeiro ou falso, e justifique sua resposta.
(1 ponto) O grau do polinômio característico é igual ao número de autovalores diferentes.
(1 ponto) O grau do polinômio característico é igual ao número de autovalores diferentes.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está perguntando. A afirmação diz que “O grau do polinômio característico é igual ao número de autovalores diferentes.” Estamos lidando com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre polinômios característicos e autovalores (ou valores próprios). Para resolver, vamos precisar saber o que é o polinômio característico de uma matriz e como ele se relaciona com os autovalores.
Passo 2
Primeiro, o polinômio característico de uma matriz quadrada
de ordem
é definido por:
onde
representa o determinante e
é a matriz identidade de mesma ordem que
. O grau desse polinômio é sempre igual à ordem da matriz, ou seja,
.
Passo 3
Os autovalores de uma matriz são as soluções da equação
. Esses autovalores podem ser distintos ou podem se repetir. O número de autovalores diferentes (ou distintos) depende das raízes do polinômio característico.
Passo 4
Embora o grau do polinômio característico seja
, o número de autovalores diferentes pode ser menor que
se houver raízes múltiplas (autovalores com multiplicidade maior que 1). Portanto, o grau do polinômio característico não necessariamente é igual ao número de autovalores distintos.
Resposta
Falso. O grau do polinômio característico corresponde à ordem da matriz, mas o número de autovalores diferentes pode ser menor se houver autovalores com multiplicidade maior que um.