Em cada item responda verdadeiro ou falso, e justifique sua resposta.
(1 ponto) O grau do polinômio característico é igual ao número de autovalores diferentes.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está perguntando. A afirmação diz que “O grau do polinômio característico é igual ao número de autovalores diferentes.” Estamos lidando com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre polinômios característicos e autovalores (ou valores próprios). Para resolver, vamos precisar saber o que é o polinômio característico de uma matriz e como ele se relaciona com os autovalores.

Passo 2

Primeiro, o polinômio característico de uma matriz quadrada A de ordem n é definido por:
pA(lambda) = det(A - lambda I)
onde det representa o determinante e I é a matriz identidade de mesma ordem que A . O grau desse polinômio é sempre igual à ordem da matriz, ou seja, n .

Passo 3

Os autovalores de uma matriz são as soluções da equação pA(lambda) = 0 . Esses autovalores podem ser distintos ou podem se repetir. O número de autovalores diferentes (ou distintos) depende das raízes do polinômio característico.

Passo 4

Embora o grau do polinômio característico seja n , o número de autovalores diferentes pode ser menor que n se houver raízes múltiplas (autovalores com multiplicidade maior que 1). Portanto, o grau do polinômio característico não necessariamente é igual ao número de autovalores distintos.

Resposta

Falso. O grau do polinômio característico corresponde à ordem da matriz, mas o número de autovalores diferentes pode ser menor se houver autovalores com multiplicidade maior que um.

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