Em cada item responda verdadeiro ou falso, e justifique sua resposta.
(1 ponto) O núcleo de uma transformação linear não nula
tem dimensão
.
(1 ponto) O núcleo de uma transformação linear não nula
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “O núcleo de uma transformação linear não nula
tem dimensão
.” Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com conceitos de transformações lineares e dimensões de espaços vetoriais. Para resolver, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação e como sua dimensão se relaciona com a transformação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
que são mapeados para o vetor zero em
, ou seja:
Passo 3
Agora, como a transformação
vai de
para
, ela é representada por uma única equação linear. O núcleo de
será, portanto, um hiperplano em
, que é um subespaço de dimensão
.
Passo 4
Além disso, sabemos pelo Teorema do Núcleo e Imagem (Rank-Nullity) que:
Como
é não nula, a imagem de
é
, que tem dimensão 1. Assim:
Resposta
Falso. O núcleo de uma transformação linear não nula
tem dimensão
, não
.