Em cada item responda verdadeiro ou falso, e justifique sua resposta.
(1 ponto) O núcleo de uma transformação linear não nula T: R^n R tem dimensão n.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “O núcleo de uma transformação linear não nula T: R^n R tem dimensão n .” Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com conceitos de transformações lineares e dimensões de espaços vetoriais. Para resolver, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação e como sua dimensão se relaciona com a transformação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear T , denotado por Ker(T) , é o conjunto de todos os vetores v in R^n que são mapeados para o vetor zero em R , ou seja:
Ker(T) = v in R^n mid T(v) = 0

Passo 3

Agora, como a transformação T vai de R^n para R , ela é representada por uma única equação linear. O núcleo de T será, portanto, um hiperplano em R^n , que é um subespaço de dimensão n-1 .

Passo 4

Além disso, sabemos pelo Teorema do Núcleo e Imagem (Rank-Nullity) que:
dim(Ker(T)) + dim(Im(T)) = n
Como T é não nula, a imagem de T é R , que tem dimensão 1. Assim:
dim(Ker(T)) = n - 1

Resposta

Falso. O núcleo de uma transformação linear não nula T: R^n R tem dimensão n-1 , não n .

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