Seja p um número primo e sejam a, b inteiros arbitrarios. Mostre que:
Se p>2 um primo. Mostre que
1^p+2^p+3^p+cdots+(p-1)^p equiv 0 (bmod p)

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para um primo ímpar p>2,
1^p+2^p+3^p+cdots+(p-1)^pequiv 0pmod p
O conteúdo principal aqui é o Pequeno Teorema de Fermat, que relaciona potências de inteiros com congruências módulo primo.

Passo 2

Pelo Pequeno Teorema de Fermat, para todo inteiro a não múltiplo de p temos
a^p-1equiv 1pmod p
Multiplicando ambos os lados por a, obtemos
a^p equiv apmod p

Passo 3

Aplicando essa congruência a cada termo da soma, concluímos
1^p+2^p+cdots+(p-1)^p equiv 1+2+cdots+(p-1)pmod p

Passo 4

Sabemos que a soma dos primeiros p-1 inteiros é
1+2+cdots+(p-1)=(p-1)p2

Passo 5

Como (p-1)p2 é múltiplo de p, segue que
1+2+cdots+(p-1)equiv 0pmod p
Logo,
1^p+2^p+cdots+(p-1)^pequiv 0pmod p

Resposta

1^p+2^p+cdots+(p-1)^pequiv 0pmod p

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